青年数学叢書 003i9 -(0t 耀袭 别尔曼著 6-七。n(p a nb an/ 中阳丰手生版花 b-a ==========第1页========== 序 在这本小珊子裹，我們要講一条叫做“能筏”的重要曲袋和它的一些同類曲袭的性質， 为什麽度从許許多多各种爷样的曲钱襄，我單單选取擺钱呢？这有雨个原因。 第一，擺钱对於机被有着非常重要的道义。齒輪的齒的樅断面，好多類型的隔心輪、隔凸輪以及别的机器容件的輪廓就是这种曲護。每一个綸圖員都应該熟悉擺钱和擺棧形的曲棧。从它的实用價值來說，擺棧是可以橢圓、抛物筏、彈道镬等相提並論的. 第二，擺綫形綫是弑金石，在十七世紀生並在該世紀末形成了微積分的那种新的計算方法和新的數学思想，在这种就金石上受到了考瞼。現花每一个中学生所熟知的人物，像伽利路、托里拆利和惠更斯，都冒經研究过这种重要的曲綫。 書襄的敍述非常淡期，每一个高中学生、技術人具、大学生和大多嫩的熟森工人都可以了解。但是，要使很多人党得容易接受，微递就必然有些不够戰正，也就不能像敷学教科書那样簡潔扼要了。 在这襄，自然会發生一个問題：既然擺綫的性質可以非常簡短地用高等數学一~微積分來說明，为什麽还要用長而 〔道) ==========第2页========== 擺 棧 又不能完全使人信服的初等数学方法來微述呢？人們可能会說：“刘那些不預备学高等數泸的人，擺棧的性質本來未必会使他臧到兴趣；而那些对精密科学利技有兴趣的人，等个雨三年進了票門学桉或大学就可以学到了.” 对这个問題，我們可以这样回答：有許多部玛鬥的人，他們对於跟机械有關係的科学問題很有兴趣，但是並不懂高等敷学，对於这些人來說，也許就很想懂得对机械这样重要的这种曲的性質。而对於那些準备將來学臀高等數学的人，先在中学襄熟悉了那些事实、那些方法，以及臂經为高等敷学的產生出过力的那些科学家，正可以使他們將來能够更好地去頠会高等數学中的覌念和方法，这也是有好处的。 我們要預先告新技術青年們：“擺錢”是一本敷学書而不是技術辖，是一本藺物而不是教本。善襄面对机械的应用只是粗具輪廓。但是，它对於技徘人員也許不無用处：本來，沒有理論的实踐就是宣目的实賤。基本上說，这本書是为数学爱好者和中学襄（高年級的）的墩学小組离的。 許多人对數学都怀着敬意，但是想歸不大願意跟它接近。假使这本小邢子对消除这种奇怪的偏見有些帮助的話，即使帮助很少，作者也將引为荣幸。 对促進本港的窝作州版的所有人士，致以衷心的谢意. 作者 ==========第3页========== 目 次 第一章电輪童生出來的钱 1 兩个白行康人的款話（1)都筏究荒是什赞？(7】簡短的歷史介貂(11) 第二章擺筏的最重要性質……… 17 掘钱的切機和法钱(17)擺钱的機何定义()撰錢的件随曲楼种它的發现(28)凝钱的面精。咖利略定哩(32)接的進一步質(85) 第三章擺镬族 42 短擺棧和長擺钱(42)外撬棧(46)心藏棧.非袋(2）树擺楼(58)具有無窮多个拱弧的外笺(64) 第四章渐届綫和渐伸錢…………9 衡伸(69）撕伸钱的基本性T(71）倒的惭仲棧(75）H典题学 家(79)撬楼的撕伸钱。襬機的狐是{82》第五幸最好的擺 4110t4◆。t3”、八·小·0……··4。”·”t 89 克单斯坦·惠更斯和他的發明(89)掷镇。为十麽普通擺（周擺）不好？(90）惠更斯的“陶塔赫'钱(93)耀袋(90) 第六章奇妙的冰山…………1(2 於最速降横問題(102)光学付巡礼.狡黠的光钱(108)淡凝核(115) 桔語… …119 〔v〕 ==========第4页========== 第一章車輪產生出來的曲緣 笨熊萌在自行車上走路… 丘科夫斯基 兩个騎自行車人的談話 我的朋友一九年毅学生日瓦更和物理系学生谢尔骸，是自行車运動的爱好者.有一次，他們兜風回來，臂經進行这样的款話。 名 謝尔骸：瓦夏，你想，自行車是不是会把附在它後輪上的泥漿甩開來硪在骑車人的身上？ 瓦夏：当然啦！在稀泥道上偶尔降低速度的時候，那些飛谦的泥黏就常常落到背上. 謝尔該：为什麽会这样呢？这事你想过嗎？据你的意見，从車輪边緣上飛來的泥漿应該是怎样動法的？朝什麽方向動的？ ⊙相当于我國的高二年极学生。-一者让 〔1) ==========第5页========== 2 擺 楼 瓦夏：糠我想想。唉！想不出來… 謝尔骸：那未讓我來提醌你吧。假使任一个質點被迫沿常曲綫运動，但是突然可以自由运動了，揶末它依照憤性，就会保持着“解除束縛”那一瞬間具有的速度的大小和方向，依着运動軌棧的切諓方向运动。明白嗎？ 瓦夏：不完杂明白。我忘記了軌袭是怎样一回事。謝尔骸：質黑运動的曲棧，就軌棧。瓦夏：对！对！現在完杂明白了. 谢尔骸：你武把这条规律运用到我們的情况看.瓦复夏：为什题？ 謝尔骸：你会得出意外的秸果. 瓦夏：好吧。（一边在想。）假設小泥點走的路钱是这样子的，（瓦夏当場就画了一張画，样子像我們的画1，只是他画 的自行車比留上的要坏得役多.)那末，从A黏歪出水的小泥 點就要依着車輪边緣的叨筏方向运動，因而就画出这样一条 固1。对嗎？ 曲镬（他指了一下）。若是把行子斜斜地扔出去，它也照着同这一样的路袭飛出去. 謝尔骸：这条曲籛做抛物 ==========第6页========== 事輪產生州來的曲棧 瓦夏（接下去）：卿使泥漿在啦輸上黏得华一些，一直升 高到B點（圖1）主甩出來，也不会赶上騎重人：因为它將要垂 直向上运動。而再面-一點的泥漿就不会往上甩了。有遮泥板把它擋住了. 謝尔該：假使骑电人减低速度，又会怎嬷样？ 瓦夏：骑車人即使完全停下來，泥漿無論怎样總腿不到他…这个桔論多荒唐！泥漿不是明明会落到背上來嗎！ 謝尔骸：我設过，要得出意外的秸果來的！瓦夏：究竞是怎题回事兒？我弄不明白… 榭尔截：問题完全就在你判断得不正雅。你更仔細地看一下車輪的运動（圖2）。假設車輪是向右轉動的。（谢尔該画了一个車輪，見圆2的左边一不，又画了一个嬈軸心向右牌的箭头 ).)我們假定骑車 2。自行审輪的複合运助 人的速度是)公尺/秒，电輪的牛徑是T公尺、当車輪的軸心 向前走的距离等於車輪的圓周長，也就是等於2πT的時候，电 輪才整个辖了一周（圆2）。我們用x來代表車輪轉一周需要花的時間。於是得： 車輪軸心前進2π？公尺需要花時間x秒，車輪轴心前進v公尺需要花時閻1秒. 因此： 无=世秒. ==========第7页========== 擺 棧 这样說來，車輸轉一周要花2”秒；那末它一秒雏轉幾周呢？ 瓦夏：馥我自己來算.散y是电輪每秒鐘轉的周數、現在要列一个此例式。我們这样來看： 車輪轉一周要花2秒，它轉y周要花1秒. 我們就得到比例式： 1:y=:1. 对吧？ 謝尔該：对！ 瓦夏：邪就是說，每秒嶺轉y=周！ 謝尔該：不錯！我們現在可以看出，自行車輪做的是複合运動：它以v公尺秒的勻速度向前進，而同時又在做每 秒2周的特動.來，記記看，假使有一點同時在做雨种运 劲，这一點的速度怎样求？ 瓦夏：这个我知道！用平行四边形的方法把雨种运動的速度合起來。 謝尔段：对！我們現在來看 車輪边綠上某一點A在某一瞬間 的运動（圈3）。这一點一方面在做向前推進的运動，一也就是說，它具有水平速度v公尺/秒。但是这同 一點也在做旋轉运動，它本身还县 3。前進运锄和旋博 有第二个速度、这个速度怎样算法 运助速度的合成 ==========第8页========== 車輪生出來的曲錢 6 呢？ 瓦夏：我坦在就來算。在一秒蜘寒，中輪轉周.电 輪轉一周，边緣上的A走的路程等於輪周的度度，也就是 2mY公尺.这就是就，在一秒鐘寒，审输轉2，周，A黏就走2,·2mT=0公尺.看來这第二个速度也是0公尺/和，謝尔骸：正是这样。在車輪轉勁的時候，边綠上这點的速度也等於w 公尺/秒；但是前進运動的P 速度是沿着水$方向的，而这第二个速度却是沿着 車输边綠的切棧方向的。圆4，从审輪上跳出的泥所怒的路每合起來的速度就得沿着这个等边不行四边形的对角綫（也就 是菱形的对角綫)的方向，像圖3指示的那样：箭头AB)。清 楚嗎？ 瓦夏：清楚了. 谢尔段：現在，瓦凝，你水看一下圖4上到蓬位澄C的 泥漿。它的速度是由雨个速度合成的，一个是水军速度，另 一个是豎直速度，也等於心，合成的速度就等於)√2（按照畢蓬哥拉斯定理©，而它的方向和水邓方向成45°的仰角.泥漿斯就像跟水平方向成45°角向上抛出去的石子一样 ⊙这条定理，在瞰洲州傳是希嫩的袋何学家畢達哥拉斯首先發现的，所以称为最谨哥拉斯定理；但是在我算費“湖髀算整”中，商高就已钢知逍了纣方加股方，開方後绿法”，所以我通常把它称为勾胶弦定理’.·一瀑者註 ==========第9页========== 6 擺 棧 运動（兒闆4上用虚钱阿出的抛物筏）。根据臢性：，它仍然樾毅保持着水车方向的分速度？©.它是不是会瑕到骑車人身上呢？ 瓦夏：不会. 謝尔骸：如果骑車人降低了速度呢？瓦夏：这時候泥漿點就落到他背上來了！谢尔骸：事实上是这样的嗎？ 瓦夏：是的。三号那天，我骑車回求就腿了-一背脊泥.谢尔骸：这就是說，你全明白了？ 瓦复（想了一下）：不，还沒有呢！我現在还很糊塗！在圖4上可以清楚地看到，速度的方向並不是沿着車輪边綠的切钱方向，而是要偏一些的。起初我們就說过，泥漿點的速度必然是沿着軌篯的切護方向的、你自己宜經說过这話。 謝尔骸：是什麼东西的运動軌袭呢？瓦夏：当然是車輪边綠上我們設的邪一點 謝尔骸：完全对！它也就是沿着这条軌筏的切綫方向.瓦夏：我不懂.依我看，圖3和圖4就跟这件事發生矛盾。 謝尔該：一新也不。你想想看。 現在我們跟谢尔該和瓦夏一起來想一下，这个表面上的矛盾有什麽根据。我們來想一下，当自行屯运動時，車輸边緣上的每一个點画出什矮样的軌能什题样的曲山綫)。用幾何学 日为了使計算酒單，我捫沒有把空气的阻力考慮進去。这並不会使結果过分不正陆 ==========第10页========== 軍编產生出來的曲錢 的語苒來說，一-·我們要弄满楚，在一个沿直棧滚動但無滑動的圓上面的每一个黠，画出什嬷样的曲袭、泥槳點不是沿着車輪边綠的切棧方向运動，而正是沿着这一条曲镬的切镬方向运動的。 摆楼究克是什赎？ 自行車車輪的軸心沿着直護在均匀地运動。車輪本身在均匀地轉動。这特候，車輸边綠上每一个點画出什麽样的镬呢？如果轴心不動，那麽車輪上所有的點画的都是圆。但是轴心也在运動，因而相应的圓就“擴展起來”，“拉長起來”了。我們現在來研究沿直袭液動但無滑動的圓上面的點画出的曲袭。这种曲袭就叫做棧 粉羊 5、明擺钱的放学用品 我們先來做一个武驗。我們从膠合板上鋸下或者从厚紙板上剪下一个圃片，在这个凰片的边上用雏子刺一个小孔，然後在小孔丙放一小段笋鉛。把一支尺放在一張紙上，我們就拿这小圓片緊繁地压在紙上，然後使它沿着这支尺液動。哪 .一小段筆铅就会画出我們的擺棧。圖5上画的是一种教学用品，在髁堂上講到擺钱的時候，就可以用它來帮助說明。它是 ==========第11页========== 8 棧 一瑰可以肇直掛起來的黑板，下边安着一条水本的边板。沿这条边板滚動着…个实的铁环，很像小孩子們喜欢“滾玩”的那种铁环。铁环上有一个小孔，这寒可以放一小段粉筆.当铁环沿边板滾動的時候，粉锋就画出一条擺綫。在圖5上可以看到这条美麗的曲棧的形状， 現在我們來一點一點”地画出这条䎱钱來。我們要把这 条曲钱作得侭可能特確。引直棧AB(圖6)，在直綫左端画 一个华徑a的圓，跟直袭AB在K點相切。最前單的方法是 这样：在跟直諓AB相距的地方-一条直綫MP,平行於 AB(这条直棧对我們來說是必需的)。在离綫段MP左端不 远的地方标出一點O,用O作围心、用a作华徑画一个圓。这 个团一定跟直棧AB相切。切點用字母K标出。 現在，我們在直綫AB上从K點住右截取一段棧段，長 变等於华徑化的圆周。大家知道，要用圓規和直尺把这镬段精雅地做出來是不可能的。只好用近似作圖。如果一个圓的 圆6.一點一點地來廊耀钱 牛徑等於《，邦末它围周的長就是2π，也就是說接近於6 或6.283。假設我們是在离连能B4厘米的地方引直綫MP 的。这就是說，我們具有化4.因此，我們必須在AB上截 ==========第12页========== 审輪生出來的钱 9 取長等於4<6.28，也就是25.1厘米的袋段⊙.这綫段的末 端用A8标出. 現在我捫没想，涮才所作圓沿着直棧AB在滾動。它 的圓心沿着直袭11P移動。截取綫段OOg等於KA8,把OOg 分成入等分、黏O1(第一分新)处在相当於圆周畏8的地方. 当圓心0移動到O1時，半徑OK轉動了360°845°.作角 A1O1K1等於45°，並作袋段O1K1等於OK。點K1一定在擺 綫上。用虛緩画田在圓周令相应位讚上的圓. 瑰在我們來看看了号-士团喝的圆心2，我们完全照上面說的悄形一样來作图，只是0，K:等於28g°-90. 我們得到擺上的點K2。为了得到圓心在O?特擺袭上的 點，我們作筝於3×=135°的角，並作镜段0K,等於 0K. 點K4,K6,K6,K?的作法就很清楚了.顯而易見，點K8 點A8重合。把所有用这种方法得到的點用一根本滑曲綫 为 (倦手)連起來，我們就得到了一条擺綫。假使得到的曲镬顯得不够平滑，讀者可以自己考慮怎样來作出中間的那些點.此如靓，从一開始就可以把基本簦段（滾動圓的周長）不分成 圖7.擺錢的一般形状 ⊙害装的崗6是按比例1：生画的一在圖上一1中米.我們建義者西一个更大一些的厨，像正父复說的那样（α=4国米）、 ==========第13页========== 10 撬 絕 八分，而分成12分。这样就不用作等於45°，90°，135°等等的角，应該作等於30°，60°，90°，120°等等的角了. 我們建議髓者來練程作各种火小（尘徑心等於各种數値）的擺棧，並且用各种敷目來割分輔助分點、 我們要注意，和直綫一样，我們要想像擺棧是一条無限曲筏。我們假定，这个圆（它啡做母）沿着直筏（準栈）渡到無限远。这時候就得到一条由無限多个拱弧紐成的曲袭（在圆7上我們画了雨个完全的拱班利和第三个拱弧的一部分)。一个个的共弧都在具有公切錢（豎直的）的那种點（尖端）速接起來。这种黜啡做擺棧的歧點（圖8）。它們就对应於在液動的圆上我們所注意的描出擺筏那一點的最低位澄。最商的位置恰好在雨个歧點的中間；这些“最高的”點就叫做耀護的頂（在 搁6上，擺镬的一个頂是在點K;你武指出简7上所有的 頂)。雨个相举的歧點中間的值镬段，長等於2π化，做擺畿的底（題精雅些說，是欐簑的一个拱抓的底）。 a=半每 底 圈8、擺镂的各个要素（闽的是一个拱弧） 在研究擺棧的時候到底会發生些什嬷問題呢？首光，必 ==========第14页========== 事輪產生州出來的曲钱 11 須給它一个跟力学無關的純粹的幾何定义。其，必須研究它的性質，学会作它的切棧，計算它的弧長、它的拱狐跟底所圍的面積、它的拱抓繞準棧旋轉所成的旋轉体的体積。順便我們还研究擺棧的同族山錢，熟悉它鬥純粹在幾何学上的应用，以及它們在腾近部鬥的应用。但是在談到所有这些之前，我先來作一个简短的歷史介留。 ;短的歷史介船 著名的意大利天文学家、物理学家和路蒙运動者伽利略(15641642)是開始所究擺棧的第一人.他又創造了“擺棧这个名称，意思就是：“联想到圓”的曲钱。伽利略本人關於擺綫沒有窝过什麽，但是他的学生和糍承者雜雜安尼、托里拆利等人却食經提到他在这方面的工作。托里拆利是著名的物理学家，气压計的發明者，他对於暾学也留經花了不少功夫。在文藝復兴特代，还沒有狭隘的事門学者、有天扌的人既研究哲学，也研究物理学和數学，並且处处得到了有趣的桔果和做出了出色的發明。法國人从事擺棧的研究此意大利人要稍潲晚一黏。1634年，著名的衡量制發明者罗别尔瓦里算出了擺镬的拱弧和它的底所圍的面積。闕於这些事情的詳情，以及另外一…些跟擺袭有關的学者側的發現，我們放到後面去細談。現在我們要花一點篇幅來談談可以說是擺袭的前期靡史，就是古代哲人們的一些值得注意的研究；我鬥可以看到，这些研究是对擺袭很有關係的 偉大的古代哲学家、“理辑学之父”、斯塔吉尔人亞里士多 ==========第15页========== 12 擺 横 贸9、亞里上多德的脆辩 德（公元前384-322），在所究运動概念的避辑基礎時，带便研 究出了下面的詭辯、設圖9上用粗筏画的園沿直綫AB滚動. 当这个圓滾轉了一周，點M就回到直袭AB上，並到递位霞 M1。同時，正像我們所知道的跳样，袭段MM1等於“粗綫圓 的圓周妥、我們現在來看用細綫画的、圓心也在O的圓。当 粘M到達位醒M1時，这个小圓也滾轉了一周，它上面的點K 到递了位橙K1。同時，在每一瞬間，小圓上總有一个唯一的 點跟镬段K区】上某一个唯一的點联轱在一起。圓周上的每 一點在镬段上都有唯一的对应點，而綫段上的每一點在雨个圓周上也各有唯一的对应點。因此自然就会得出桔論：小的 “細镬”圆的圓周長度等於镬段KK1=MM1,也就是等於大 (“粗镬”)園圆周的長度、於是，不同华徑的圓都具有同一良度的圓周！这就是亞里士多德的詭辯。 这襄的錯誤如下、从华徑OK的圓周上的每一點在護段 KK1上都有唯一的对应點，决不能推断出这个圓周的長等於 K1。例如圖10，签段AB上的各點，我隅可以用經过D點 的射镬，使它們跟有AB雨倍長的綫段CE上的黠一对应， 但是決沒有一个人想到要坚持綫段AB跟CE具有同样的 甓度！这不馑对直綫袭段是这样，而且对曲袭也是这样。把 ==========第16页========== 車輪產生出來的曲棧 13 10.一一对应 圖11.针对亞更土多德詭辯 亞里土多德的脆辯紱逃得直截些、明顯些：我們來剂論兩个同心圆（圖11）。在兩个圓上有“同样多”的點：在圖11上，对应的點是用直棧（牛徑）連接电來了、可是誰也不会硬說，这雨个圓的圓周一样長。 弑此较圆6圆9，我們就可以得出一个非常重要的粘論。凰沿直綫滾動，可以有雨种方式。有一种方式具有这样的性質：像在圖6上，任何一刻（当母圓在任-一个位置時）弧 KA的畏總歸等於錢段K1的長。圖9上面的是另一种方 式，在这襄，牛徑OK的小圓沿直袭KK1滚動，是不具备这 种性質的。在前一种情形，通常就說圓沿直綫無滑動地滚動. 在後一种情形，通常就說圓不僅沿直綫AB滚動，而耳还滑 動。要得到擺棧，就应該覌察無滑動的滾動。下面我們要討論的，就是無滑動滾動時得到的曲淺。 在你利賂發現擺嶘以前1900年，亞里土多德就已經覌察过这种运動了；但是亞里士多德对於滾動的圓凋上的點画出的曲钱，並不發生兴趣。比他晚一些的束越的天父学家托勒 ==========第17页========== 14 擺 棧 密（公元前二世紀），會經接衡过一“族跟䎱棧非常腾近的錢（所謂“外擺镬”）. 現在我們來看看行星的运動，比如火星在天空中的运動、当地球和火星处在像圖12所示的位懂，地球从3移到3'，火星 3 四12、火星的值钱运助 圈13、火星的後退运助 却从M移到M',挪末在地球上的人們就会以为火星是在星 星中間作反時针方向运動。通常也就是这样來看火星的运功的。但是处在相街地位時（周13），当地球从3移到3'，火星 却从M移到M',看來火尾好像在作順時針方向的运動。火 的这一“後退”运動，远在太古特代就已經被天女学家們知道了. 托勒密也道这一點。但是他認为地球是宇宙的不勁中心，又認为一切行星都在繞地球作匀速运動。在他那个時代，如果認为尾体是在作非环状的和变速的运動，就会被人看作大逆不道。究竟怎样使匀速环状运動和那有時（接近衝的特刻)可能观综到的行星“後退”运動的事实协調起來呢？机智的托勒密找到了下面的一条出路。 ==========第18页========== 車輪產生H}來的曲钱 15 的为 要的均希 阴的均验 火星的均希 术 本 的不 术星的均珀 士星的均羚 圖14.托勒密的宇宙系 他想像，每一个行星都沿着一个不大的圓在作匀速运動，他把这个不大的圃叫做“本輪”。本輪的圓心也，繞着地球在作匀速运動。圖14画的就是托勒密的宇宙系。適背选榉本輪和大圆(“均輪”)的牛徑，托勒密就能够很好的把他的理論和当時的覌调协調起來。甚至於在：-一千五百年以後，說太陽位澄托行星系的中心的哥白形，也还沒有洪心放棄匀速的轉動：他也認为行星是沿着本輪运動的，但是本輸的圃心却不是繞地球而是繞太陽运動的。值到布刺非常仔細的覌测和計算以後，才指出勻速环状运動不合事实，因而引遵刻卜勒去發現行星的变速橢圓形运動. 从托勒密的覌：來說，犀的軌道究是怎样的呢？这 ==========第19页========== 16 擺 趟 是一条擺钱非常朴近的棧。就擺錢來說，點沿圓周作匀速轉動，而圓心沿着直镬运動（藺者自己想 o 一下，这時候得到的 本 也就是凰沿直棧滾動時得到的擺棧)。托勒密說的，却是點沿 均验 着圓周运動，而圓心也沿着圓周运動。很 通15。托勒密的外擺钱 明類，这样得到的是一条性：質跟擺袭非常接近的曲筏。这条曲棧叫做外罪钱（刷15）。我們在後面还要談到它。 ==========第20页========== 第二章 v. 擺緣的最重要性質 上來的第二道莱是撬沒形的脂饼… 断尉夫特：格列佛遊記” 擺撬的切挂和法横 圆的最自然的定义，大概是这样：“固体質繞着固定精旋辖所过的路徑叫圓.”这个定义是直观的，从它很容易導出四的一切性質；而主要的是，它立刻就給我們猫精出一个作为建教曲惩的圆。从圓的古典定义，“闾是本面上和一船等距离的新的陈”，就一新也看不出这个性質來. 为什尝在学校裹我們要把圆的定义說作點的軌跡呢？用运功（特功）來說明圓的定义，坏处在什麽地方呢？我捫水想 一下这个問题。 在我們学留力学的特候，我們並不去在明幾何定理：我們認为这已經是知道了一我們只不过像引用已颦知道的东西 一样笛單地引用機何学。如果在証明凝何定理的時候，我鸺也把力学当作已释知道的东西一样加以引用，那就要犯一种 〔17) ==========第21页========== 8 拥 楼 啡做“逊輯循环”的錯誤：就像在証明命题A時，我們引用了 命题B；而命題B本身却是用命題A來作根据的。說得簡 單些，就是从甲推出乙，从乙又推出甲。在說明科学各个科目時，这种悄况是不容許的。因此，在說明算術時，力求不要引用機何；在說明幾何特，力求不要引用力学，其他的也一样。但是在說明幾何時，却可以大胆地利用算術，而且在說明力学的時候，也可大理地利用算術和幾何：这是不会犯避輯循环的錯誤的。 我們在前面学过的擺綫的定义，絲毫也不能畔幾何学家滿意：因为它是从力学的概念一速度，运動的合成等等一出發的。因此，幾何学家們竭力想給擺钱一个純粹的機何定义。但是要想作出这样的定义，必須首先利用擺綫的力学定义去研究出它的基本性質。从这些性：質寒选出最簡單、最具特徵的性質，可以用來作为幾何定义的基礎。 16,曲横的切筏和迭栽 我們先从擺綫的切和法袭的研究朋始。曲镬的切找是什麽，每个人都可以很清楚的想像得出來；高等數学襄也都有精雅的切筏的定义，因此，我們在这襄就不再引它了。跟切綫在切點相交並垂直於切綫的道袭，斟做法機。圆16上就画了 曲钱AB在M點的切袭和I法棧. 現在我啊來研究擺袭棧（圖17）。有一个小圓沿着直護AB 滾動。設小圓在開始一瞬間，垂直於AB的牛徑翘过提镬最低 ==========第22页========== 耀钱的屐重要性貿 19 點博了一个中角，並到了位置OM。换句話說，我們假定綫段 MT在棧段MI1中所佔的一份，正好是④角在360°（圆周） 中所佔的一份、这時猴點M。到递了點M.點M也就是使我 鬥威到兴趣的擺護上的一黏。 显17。擺钱的切棧 箭头O丑是表示滾勤圆圓心运動的速度。圓上所有的 點，M點也包括在内，都具有这样大的水平速度。但是除此 以外，點M还参加了圓的轉動.在轉動時，點在圓周上得 到的速度MC是沿着圓周的切袭方向，也就是垂直於牛徑O M的方向。我锕已錾从“雨个骑自行車人的毯話”一節襄知 道，速度MC的大小等於速度MP(也就是速度OH)、因此 对於我例所說的运動，速度的平行四边形是一个菱形（圆17 的菱形MCKP)。这个菱形的对角機MK恰好是擺綫的切 機、 現在我們可以回答谢尔該和瓦夏款話末了提出的問題了。从自行重車輪上甩出來的那个泥漿點，是沿着車輪上它离期的那一點的軌綫的切綫方向运動的。但是執綫不是圓，而是提钱，因为車輪不單在轉動，而且还在滾動，也就是說，車枪作的是一个由前進运動和轉動所組成的运動、 ==========第23页========== 20 拼 被 上面所說的一切，使得我們可以解決下逃“作圖間题”：設已知擺綫的準棧AB,母图的徑r擺綫上的點M(筒17)， 求作擺筏的切棧MK. 有了M,我們就不难作出通过M點的母圓。为此，我 們先用牛徑OM=來求出圓心O(O點是在本行於直筏AB 並跟它相”的直笺上)。然後作任意長綫段MP平行於準 筏。再作直棧MC1垂直於O1I.在直綫MC1上从M點引等 於MP的棧段MC.以1C和1P作边做一菱形。这菱形 的对角棧也就在M點擺袭相切. 这一作圖是純粹的幾何作圖，虽然我們骨經利用力学上的概念來得到它。現在我們可以放棄力学，不用它帮助來得出一些更進一步的推論了。 〔定理1〕擺线（在任意一悬）的切线和準綫之間的交角，等於90°减去母圆半徑旋轉的角度的一半。 换句話藏，在我捫的阁17上，∠KI,T=90°-立∠M0? 或∠KMP=90°一号、我們現在來証明这个等式。为了微 逃簡便起見，我們把母圓华徑旋轉的角度甲啡做“基本角”。 这就是說，僩17的∠MOT'是基本角。我們假定基本角是銳 角。对於能角的情形，就是說，对於滾動圓滾过了四分之一周時的情形，請藏者自己修改我們的論証。 我捫來衬論角CMP。CM边垂直於OM(圓周的切綫垂 直於牛經)。MP边（水下棧）垂值於O里（豎道筏）。但由条 件，角MOT是銳角（我們規定只尉論全周的第一个四分之 -),面角CMP是鈍角（为什麽？）。这就是說，角MOT和 ==========第24页========== 擺筏的最重樊性貿 21 角CMP合起來是180°（雨个具有互相垂直的边的角，其中一 个是銳角，而另一个是纯角)。 :由是，角CMP等於180°一p。但是大家知道，菱形的对 角緩平分頂角。因此，∠KMP=90°一，这也就是要証明 的。 我們現在來看擺棧的法棧。我糊已錾說过，曲畿的法棧是过切黏和切钱垂直的直棧（圈16）。把圆17的左边画大一 點，並弓引法袭ME(MEL1K;参看圖18). 由圖18知道角EMP等於角KME减去角KMP,也就 是等於90°一∠KMP、但是我們附才已經証明，角KMP本 身等於90一习.於是得： ∠PME=90°-∠KHP=90°-(90°-是)=受. 我們已經証明了一个父葡单又有用的定理、我博把它表示成： 〔定理2〕擺缕的法缕（任意-一點的）和準錢之聞的交角，等於“基本角”的一半。 (我們要記住，所謂“基本角”就是滚動圓的徑旋轉的角度.) 現在我們把M點 (擺綫的“動”點)和母：圓 的“底”點T(母圓1準 綫的切點—一参看圖 圖18.循充說明定理2 ==========第25页========== 22 擺 横 18.)連結起來。三角形M()期然是-一个等腰三角形(OM 和OT都是母圆的尘径)、这个三角的雨底角的和等於 上80°一伞，而每一个底角等於这數的一华.於是，∠OMT =900-分. 我們來看一下角PMI'.它等於角OMT减去角OMP. 我們立刻看出，∠0MT=90°-罗；至於角0MP,那就不难知 道它等於什麽了.本來角O41P等於角DOM(平行棧的内錯 角)。立刻可以看出，∠DOM=90°一P、这就是說，∠OMP =90°-p. 阁19.撰钱的切钱和迭楼的基本性 从这襄，得： ∠PMT=∠OHT-∠0MP=0°-受-(0°-p)=受. 我們就得到了一个重要的结果：角PMT和角PME相 等（参看定理2）.因此，直镂ME和MT重合！我們的圆 18做得完全不对！阁19.上画的扌是直镬的正確位置。怎样來敍远得到的秸果呢？我們把它微远成定理3的形式。 〔定理3（擺袭的第一基本性質）〕擺綫的法线过母圆的“底”點。 ==========第26页========== 擺钱的最頊要性貿 23 从这条定理可以得出一条簡单的推論。出定义，切棧和法護之間的角度是直角。这是一个内接於母圓的角。因此它 必須对着圓的值径。因此TT1是直徑，T1是圓的“頂”點。 我們把得到的桔果微述成： 〔推論（擺綫的第二基本性質）〕擺线的切线过母圆的“頂”點、 圆20.耀钱是它自己的切楼的包絡 我們現在來回憶一下逐作出擺棧的方法，像我們在阁6上所做的那样。 在圆20上，我刚把擺袭的底分成6等分；恰n我們所知，分的分数越多，得到的圆就越精確。在我們作出的擺棧上的各點引切钱，这些切畿都能够把曲棧上的點和母圆的“頂”點速接起來。在我們的圆上有七条切錢（其中有雨条是蟹直的)。要是随手來画出擺棧，我鬥就要注意是不是所有这些叨镂都兵正相切：因为这可以人大的提高圖形的楷雅度。同特， ==========第27页========== 24 擺 钱 擺袭自身将聚包着所有这些切袭日， 同是在圖20上，我們在已經画出的擺綫的所有點上引法綫。準護不算在内，總共是五条法镬。可以用手來作出这些法筏的包貉。要是我們不取六个、而取12个或16个分點，邪末圈上的法镬就燴多起來，而包貉的輪廓就更顯著了。全部法棧的这种包貉，在研究任何筏的性質時都非常重要。对擺筏來說，就顒出了一种異乎辣常的事实：擺綫的全部法護的 包貉拾好也是擺袋，只是向下移動2仙个單位並向右移動T 个單位罢了、对於这种有趣的擺筏特有的桔果，我們还应該加以研究. 擺镬的切钱和法楼的性質，首先是托里拆利(1608-1647)在他的“：何論文集”(1644年)一書襄加以說明的。那時候，托里拆利食利用闕於运動合成的概念、稍晚一些，但是比較完善一些，罗别尔瓦里（法國數学家皮尔遜的筆名；16021672)。食經研究过这些問題.笛卡兒也骨研究过擺镬的切綫的性質：他冒經不求力学帮忙前說明了他的桔果. 拥钱的機何定义 我們現在不利用力学，而用點的軌跡來耠擺綫下一个定 义。最簡單的做法是这样。我們來看一条任意的直钱AB(假 定它的方向是水的)及AB上的一點M。.我們再來看所有 一切跟这条直綫相切並在它的同一边卑徑一定的圓。在每 e这种曲战也叫做“包貉”。一切曲钱都是它自己的全部切钱的包格、 ==========第28页========== 機的最頭要性質 25 、·个圓上，从它跟直袭AB的切點”（对着。點的方向） 弧设'M,長度等於棧段MT。M點的軌跡（就一切所說的 圓取出的點)也就是擺袭。 这样艰澀的定义是不是靠得佳呢？利用运動來作的定义要明顯得多！而且实質上是什麼也沒有改变。只不过用幾何的語言替代了力兴的語言罢了。何这時候我們已經佔了很多便宜：我們已經說过，幾何的事实不要依靠力学來解釋，好避免“遥輯循环”。然而我們也受到了不少損失。如果我們希望單單利用这一定义來引出擺綫的切袭！法綫的性質，就会碰到巨大的困难。难怪托里拆利和罗别尔瓦里不能克服而要求力学來帮忙了。笛卡兒在他对擺綫的純幾何研究中，使他憝於發現了異常有力的機何学研究方法一所謂解析畿何学。 我們來証明擺棧的一个重要性質，並且打算用它來作为研究欐綫的基礎. 我們現在來看三角形M1(图21)，它是由母圃的垂直 直徑、擺镬的切錢和法棧做成的。M'T角内接於閱，因此 等於截取同一弧的圓心角的一牛，也就是等於”.引MK∥ AB,ME⊥AB。護段ME以後会起重大作用，因此我們就給 它一个名字，把它做擺綫M點的“高”，並用字母九來表示。 於是，器棧M點的高就是M點跟準棧的距离. 現在我們來看角IT。它等於角MI'(为什麽？)。 出三角形TMI'1,我們得： MT=2wsin号， 义从三角形PKM: ==========第29页========== 28 擺 圆21.“高”与切楼斜度間的闲係 Kr=MTsin-管， 把这雨个桔果加以比較，並注意K=五，我們最後就得到： h=2 a sin2" 我們已經用M點的切棧和豎直錢（我們仍舊把值镬AB 看作水平方向)之間的交角來表示M點的高了。現在我們用 “高”來表示这个角的正弦。期然可得： sin==B, ) 在这裹，我們用來表示已知䎱棧的常數√2a 現在用語言 來敛远出所得的精果： 〔定理4〕撬缕在M點的切錢銀暨逌接間交角的正弦， 和M點高的平方根成一定比例. 期而易鬼，任何擺棧都具有这种性霞、於是發生了这样 ==========第30页========== 䎱棧的最重婴性貿 27 一个問題：这种性質能表示擺綫的特性到什麽程度，是不是凡是具有这种性質的曲耧一定都是擺袭？ 可以証明事情正是这样，一一下面的（逆)定理也是正確的： 〔定理5〕如果已知直綫AB和點M,那末唯一的滿足 定理生条件並过M的曲袭是䎱綫。 这時候这擺棧的母圓的华徑是和係數飞有關的，在定理4襄已經設到过，它滿足下面的關係： 2a (不言而喻，从點M到AB的班禽必然小於2.) 用初等數学方法作出的这条定理的髅格証明是非常流煩的，因此我們也就不在这襄引远了。 定理5非常重要。在物理学上和技術上，常常需要求出滿足某种已知条件的曲綫。我們在本書末尾將介貂一个間題，在这个問題襄，就需要求出滿足定理5条件的曲棧。在这种情形和所有其他類似的情形，我們都可以証实所求的曲线就是擺镬。 要是定理5的条件襄沒有提到所求的曲綫必須通过預光 指定的點M,那末得到的就不是一条©而是無限多条擺綫， 它們襄面的任一条都可以由另一条沿着直袋AB方向不行移 動而得到（它們襄面一定有一条錾过點M,有一条經过點M1, ©酸格說來，在拾好满足定理5的条件下，得到的不是一条而是雨条播战。敢者自已想想，为什磨会这样，第二条耀緵应核在什麽钳方. ==========第31页========== 28 播 钱 圖22.擺钱族 有一条經过點M2,等等)。圖22就画了这样一組擺棧，或者 所謂一族擺栈。 我隅还要提出襬棧的一个十分明題的性質：它的拱弧，对於过拱孤底边中點的垂綫，是对称。然後我們郸恃轉到另外一条罗别尔瓦里食經研究过的著名由袭，他把这条曲護此做程钱的件随曲接. ,钱的件隨曲楼和它的發現 我鬥現在來看擺錢（圖23）。从它上面的點M引-一条和 母圆的蟹直直徑相垂直的直棧。我們就得到一點P。对於罷 綫上所有的點毫無例外地都進行这样的作圈（例知點M2对 应於點P2,擺楼的頂點就对应於頂點P1自己、歧點对应於歧 點等等，所有这些在圖23中都很禱楚)。当點M画出整个 擺嶘的拱弧時，點斯P也商出了某一条曲棧。这条曲綫就叫做 擺綫的件隨曲綫。“件隨曲钱”的性質是罗别尔瓦里研究过的。他宜錾利用它來計算擺嶘的拱弧和它的底所圍的面積。但是我們不再系統地研究件隨楼。我們做得比較簡單，只要骰法認出它正是我們的一位老朋友就行了。 我來见篓擺袋、它上面的斯M和件随l棧上相应的黏 ==========第32页========== 䎱棧的最重要性图 2药 照 服23。凝楼的件随曲， P(圆24).我們用字母來記母圓的圓心.在这襄，我們有： QP=QM cos∠MQP=acos(180°-p) x=-ac0sp=-a8in(90°-p)=asin(p-90°). 我們來画出母圓心的軌跡（圖24上的直袭X1X)。从 随o點沿AB藏取钱段MK,長度等於.引KY⊥X1X.用字母O來标出Xx和KY的交點。現在，所有的辅助作幟都已經完成了，因而我們不摊“說明这条神秘的件隨曲钱的个性”，像普通在鷲險小說襄描离的邢样。 从準錢上擺綫的歧點(M。)到母圓和1準淺的切點(R)等於 0的 24.的镂的随出钱是让弦曲楼 ==========第33页========== 30 擺 楼 p,此处9是H撕变表示的基木角QR⊙。在横轴X1X (藏书知道直袭)”利O就是座标軸，在粕圖特常常要用 到)的能段OQ等於11，R-1K=a(p-子)，而錢段等於in,∠P11Q.也就是等於角(m一牙)的正妝乘牛径. 0丝 赋5.正以战的作 於是，从O點沿水方向取棧段，長度等於圓孤；又沿豎 直方向作与此弧机应的角的正弦。我們現在曉得这是三角学上熟悉的普通正弦曲钱的作橱方法（圆25）. 这样一來，这个陌生人就被揭穿了！它就是普通的正弦 曲签们是这正弦袭的‘始點”(O)並不跟擺镬的歧點一致： 它向边移動了三，並向上移動了a. 我來仔粗察石一下圖24，立刻就看出，擺棧1它的件 隨：曲袋互对应的點M和P之間的微妙關係：播篷和它的伴 髓曲袋的：豆对应之脚的袋段IP等於母圆的弦的一半 (这条弦是不行於AB的，它！AB的距离等於从AB到M點 的离)。 我門現在來看-·下圆6。这髓上画了幾个由擺綫的拱弧 ⊙因1公一1心的長，趣接等於4n,9是用弧度表示的阅心角. ==========第34页========== 擺楼的最頸要性 31 26.正弦曲接的性囹 和直线（水不的跟整直的）键成的圆形。由於对称的緣故，我 們可以看出憾域I,,Ⅲ，亚（用不同的袭条画出）是相等 的。於是，在惘形所在的平面上繞O點旋轉180°，就可以 使愿城Ⅱ和重合；照亚和阻中間的豎直護对挡，可以使夏和亚及y和I重合.完全一样，从圈27可以看到， 正弦曲钱把矩形ABCE分成雨个同样大小的部分。实际上， 邂27.正弦曲棧和准棧間的面稍 要是把圖形A0OTE繞()點旋轉180°，我們就可以使它和圖 形A()TK重合s把圆形KBPT橈P點旋轉180°，我鬥就可 以使它和圖形CPB重合、因此，罷袭的一个拱弧的件隨曲 袭和这拱弧的底所潮的面積等於矩形AECB的面積的一牛，' 矩形AECB的底王B等於母假的周畏，也就是T,高K'' 就是母国的值經(2)。於是，固形AOBK的面績( ==========第35页========== 2 糖 棱 27)等於2rg2a÷2。如果用字母S來表示这个圖形的面積，我們就得到公式： S=2T32 用語言來微逃，晚是：擺錢的个拱弧的伴随曲线和这拱弧的底所国的面狱，等於母圆面積的雨倍、 擺钱的面精。伽利略定理 現在我們已經有足够的準备來計算擺綫的拱弧和底所圍的面積了。这种面積計算的最初記載，是在雜雜安和托里拆利的著作襄。他們把这項計算和他們的老溮伽利略的名字联在一起；因此，關於擺袭面積的定理常常叫它做伽利略定理. 中心 厨28。罗别尔瓦里的双葉形 在計算曲袭所厨的面積時，托里拆利和雉維安都利用了 一种啡做“不尽分割法”的特殊方法。这种方法是这样：把曲镬形分成無限小的殃条(“不可分元”)，使它的面積相当容易算出，然後再把它們加起來、这种方法經过半世紀以後，促成了積分法的發現。我們現在不照托里拆利和維雜安的道路 ==========第36页========== 撬機的最重要性質 39 走，而來靓明另外一种計算面積的方法-罗别尔瓦里法（把它稍徵弄得精密-一點). 我門來看擺綫的拱弧和它的件隨曲綫所圍的圆形。在圆28上，由雨个葉片構成的圆形是用粗楼包園起來的。我們現在求計算它的面積. 首先，我們作H圖形右边一棄關於準綫AB的镜像（在圆 28上，这个像是用虚棧画出的)。然後我鬥把这虛棧搬到左上方，把它贴到左边一葉，使得那作为各葉葉边的正弦曲綫重合在一起。我們就得到一个凸形，它在圆28上是用陰影綫画出，並在圆29.上單独画出。我們來雅定这个圆形的一个非常重要的性質。 1.凸形MoPL,M和圆28.上用粗袋画 闆29，双葉形变成的圆形 出的双葉形同样大，这可以从这个圖形就是由那雨葉“組成”看出來。 2.凸形襄任一条横弦，都等於葉形中跟这横弦AB等 距离的弦的雨倍。实际上，右边一葉距中心袭等距的弦O 和PH(圆28)是相等的，因为它捫都等於母襄距圓心同距 离的弦的一牛（回想一下，擺袭和它的件隨曲袭相互对应點之間的護段等於母圓的弦的一，参看第30其)、这也就是 說，K=CE=.H=P1H1=TI,. 这就推出一个重要的桔果：凸形的弦1'（圆29）等於距 ==========第37页========== 84 混 转 準嶘同一距离的圓的弦OK. 我們現在來肘論罗别尔瓦里的凸形和跟连錢AB、A,B (圈30)相切的圆.我們引-一系列下行於AB和A1B1的直綫， 並且把它們跟圓周和凸形的边的交點依水用直綫设連起來，像圖上所表示的那样©。用这种方法得到的内接多边形（像 HLMNPQRSTK和HL111N1PQ1R1S1TK1),我們把它 們叫做“对应”多边形。不行於AB的直袭把“对应”多边形分 成一系列梯形（还有三角形）。在圆内和罗别尔瓦里圆形中 的“对应”梯形，此如NPRS制N1P1S1,面積是相等的，因 为这雨个梯形的下底、上底（对应的弦）高对应相等。在圖0上，同大的“对应”梯形用同-一种陰影棧画出. 我門現在把李行於AB的“間隔的”直嶘無限增多，使任 一对腾值袭間的：离趨於0。於是，我們在圓内得到一系 B 词30、内接於圓和罗别尔瓦里凸形的多边形 ⊙在这个上，也应当想像到倒的弦1N和ST以及罗刿尔瓦里形的 技M·N,和ST1.组是它們太小了，以致不能用肉眼把它从应的弧匦别别 來。 ==========第38页========== 耀棧的最罪要性： 35 列多边形，它門的边的數目無眼增多，而年边的父却超於0. 我們知道，这些多边形的面被S,的愜限是母：的黄： lim S=Ta2 内接於罗别尔瓦里凸的多边形列，这時筷又怎样呢？这一列内接多边形的面健，將超於罗别尔瓦里圖形的面積 三。人家知道，如果雨个变量在一切变化下都保炸着对应相等的值，並且有-一个趨於一定的極限，邢卡，另一个也一定趣於同一極限。们是内接於罗别尔瓦里的多边形内接於圓的 ·对应的”多边形同大。因此，我們就得出結論，内接於罗别尔瓦里的多边形面積的的板限，等於内接於圆的“对应的”多边形面積的系的極限；而这也就是設，罗别尔丸里凸形的面横等於母圓的面煮： 2 从这裹我明得到了-条直接推理：双葉形（圖28）的面積等於母圓的面積。 我們現在再來看一下圖27。像我們已經着到的，圆形 AOTPBKA的面積等於母圓面養的雨倍（擺钱的一个拱抓 的伴隨曲羲这拱弧的底所图的面積，参乔第321)、双葉形的面積，我們刚才已經指出：它等於过侧的面蛋.时此，擺袋的一个拱弧和它的底所图的面積等於母圆面積的叁倍、这个结果也就是老名的“伽利略定理”。 擺钱的進一步性質 說过面積之後，我們自然就会說到擺棧拱弧的長1由这 ==========第39页========== 38 耀 棧 圆31、襬钱旋轉產生的卵形体 拱弧旋轉產生的体積。我們先來說这体積。 如果擺镬的拱弧繞着它自己的底旋轉，那末它就產生了 一个曲面，这曲面包圍着一个卵形体，像圖31上画的。把它分成非常薄的層，在这些薄曆中各内接一圓柱（像圖上画的那样)，然後把它們的体積加起來。这样，罗别尔瓦里就得到了整个卵形体的体積。我門現在不再來重複他那又長又赅煩又 ·不很鼹格的計算了。現代的高等敷学，使我們不难求出这个体積。我現在來報導一个現成的秸果：擺棧的拱孤繞着它的底旋轉產生的体積等於5π2α3.这旋轉面的面積也已經算出來了：它等於gπ，也就是說有母圆面積的21倍多黠.64 罗别尔瓦里还研究过别的由擺棧旋轉產生的曲面。他作出擺钱關於它的底的鏡像，以及由擺镬和它的鏡像做成的卵 形曲线，然後把它繞着KT軸旋轉（圈32）、这時候，旋轉蓝 生的曲面的面積等於32π2a2,这曲面所圉的蘿葡形体的体積等於12m8a3, 在他後來不八，著名的物理学家巴斯噶定出了由擺钱的 ==========第40页========== 襬钱的最重要性質 37 ! K 园$2。由擺棧所產生的羅菌形旋！体 一部分橈着各种不同的軸旋轉形成的物体的体積和重心。1658年，英阈的建築師兼学家、著名的倫敦聖保罗大教堂背頂的建築者連氏，臂經定出了擺楼的拱弧的長。他的發現是鷔人的，因为在当時，計算曲綫弧長的問題似乎是異常因难的，只有个别的幾利棧（圓周、抛物綫幾种螺筏）才計算得出。我們現在來談一下蓮氏用的方法，但是略去証明上的細櫛。然後，我們再回过來用完全不一样的方法來計算出擺幾的拱弧的長. 連氏是从和托里拆利和罗别尔瓦里早期工作類以的力学 思考出發的。他覌察液動（母）圓繞着T點（圖33）而轉動一 个梅其徽小的角α時的情况、这時侯，圓心从O黠移到O1 點，因而角OTO1刚好等於a。弦M也轉了同样的角度，而 M點在描过擺綫的一小段抓之後，移到了M1點。照連氏的 想法，我們假定角u極小，小到使擺綫的弧111和以T點为 圆心、TM为牛徑的圓周的胍不可能區别開來，这就是說，我 ==========第41页========== 38 混 棧 出， M 喘 圆33、擺筏的弧是 們假定擺筏的小孤MM1的度等於1？a(假定角a是用孤度表示的)。这時候我們故意容許有-一點誤差，但是角a越小，这諛差也就越小，因而它的影响也就憝於褙失了。 这時，三角形(O'經一微小的轉動移到三角形)1M1P. OM边同MT'边一样轉过了同一角度；因此，OM和MO1之閥 的角，也就是2M1角，等於u。 現在我們在用P作圓心、用O'作牛徑的圆的左边作牛 徑PK∥OM和PK1∥O111。顯而易見，角K1PK等於角a, 弦KH1行且等於擺錢在M點的切綫籛段。弦K1H:不可 能擺綫在點M1的切綫嶘段相差太多一本來，当从點M 移到11時，母也移動得不多。連氏証明了（虽然这也还 多少有些不精碓)，弦删好就等於擺棧在M1點的切镂嶘段. 角KHK扌是圓周角，它利圓心角KPK1对着同一阅弧； ∠KPk1-a,因此，∠B1K1空.当點移到，位置降， 弦M1K打1所縮减的長度大致等於棧段K,这能段也可 ==========第42页========== 撬钱的最讯要性質 39 以認为就等於牛徑HK乘上角KHK1(用弧度表示)；也就是 等於HK·或HI. 和：圓弦長的縮减相对应的是綫拱弧長的增加，它等於MM1,也正是像我們已經說过的，等於M',a。我們得到 了下面的特果：当母圆轉動很小時，弦MT1縮诚的長等於擺 线的拱弧增加的長的一半。 当然，这个關係並不完企特雅；但是，假使我們附锨母圓特動180°，把它分成極做小的部分（轉動元'α），計算弦的相应减少量跟擺棧拱源的增抓量，計算所有这种减少量的和跟所有这种燴加量的和，並取極限，一一这样，我們就看出，政長的全部减少量恰好戏是擺钱牛个拱抓的長的一华。这時候，弦 从（当M點取最低位置時）减小到0（当1點到莲最高位 澄時)。弦長的减少量共計2%，因此，钱华个拱弧的長等於4,整个拱胍的長就等於8%. 於是，“提示性的推理指出了：欐线的一个拱弧的長必然等於母圆半徑的八倍。特果出於意料之外：要知道，即使像圓周这详箱單的！畿的畏，也沒有像这样簡單，要特别引入無理數π才算得出，可是擺綫拱弧的長却可利用有理數（其至是整數)，用牛經來表出 要想使我們的（正雅些說，連氏的）提示性推理具有說服力，还必須研究一系列的辅助定理、这会使推理变得複雜，並且会使准理失去明顯性：因此，我就把这些羊節路去。逆氏本人已经很特雅的把它做了出來. 轂者也許已經注意到下面的事实。推導攏諓面情公式和 ==========第43页========== 40 镜 它的弧長公式有開的一切論証，都是非常别出心裁的，跟討論圓周恃所用的論証不同。假使有位藏者冒經看到过十七世紀学者們衬論某些曲棧（例如抛物棧）的工作，他就会深信，他們的論証也只適应於特殊情形，既和用於圓周的不同，也我們在研究擺筏脖所碰到的不同。普逼適用的方法是沒有的，每 一个硏究都需要素求新的，有恃是非常奥妙的方法。 另一方面，讀者也許对經常指出証明的不骰格一點威到不喜欢，女藝馊兴時代学者們所作的各种定理的証明，或者过於複雜而元長，或者露可帶一點提示性論証的風格，而不癫作髅格的數学推理。他們常利用力学，虽然在当時看來，好像这就是令人滿意的跟力学無關的畿何說明。 然而生活不待人！自然科学、技術、航海術發展了，要求就一的幾何方法，它能使废大的專家实际工作者接受，而不是只能使伽利略和巴斯噶接受。文藝復兴時代的先進学者們越來越感兴趣的，不是解洪个别的問题，而是要弄清楚到底該怎麽把曲淺的複雜奥妙的解法統一起來。卡瓦列里、笛卡兒、飛馬、戴劳等敷学家，都試圖發現一个解决有閱曲棧和曲嶘形間题的一般方法。卡瓦列里說出了一条在今天已經是任何十年級学生所知道的原用。笛卡兒飛馬發明了解析幾何：它是用直錢和方程式之間的關係作基礎的。此外，飛馬还發明了究各种出棧的切綫的一般方法。 当牛頓萊布尼兹的工作在曲棧的切綫作圖問題和这些棧所倒的面積計算問題之間建立起重要關係以後，所有这些使由他們的工作宜告桔束。牛頓萊布尼茲作出了非常有 ==========第44页========== 襬棧的最重要性图 41 力的、同時也是容易接受的解决許多幾何間题和力学問題的方法，这些方法後來發展成了一門骰整的科目，称为数学分析(微積分)。但是使數学分析具有數学覌念不可缺少的嚴格性和說服力，却还要經过一百五十年時間。 ==========第45页========== Y ②CG⊙②> 第三章 擺緵族 您和恐这盐·尼科拉芙毓是什麽湃戚剥係？ 你利皮耶道天 短擺转和長擺钱 当劑本或小說的作者希望更好的去拼篇出他的英雄的特性時，他常常說到这位兆雄的塑。任某些場合，關於親友們 的教道是可以使我們能更完金的去分析人物的性：格。我們現在暂時也把提系花本身放 一下，丽來討論它的近魏。要是图和準袭，在某种意义上說，算是擺楼的…双親 31.丹的内利：外 的話，那未，誰又算是它的兄 點的运助 弟姊妹呢？ 在圖4上：我鬥了·个…準络出發”的母.現在·它 的點M,H}了一条美麗的擺棧。但是點C。和比。父得到什 () ==========第46页========== 摞 钱 族 43 麽样的命运呢？點C。不是在母阆的圆周上，而是在它内部的 某一个地方、點五。是外點，它和滚動圆紧密速系着。比說，我們設想这一點是在火車車輪的輪圈（輪绿）上，像間35画的那样。跟內點相似，这个外點也要跟着車輪输运動，並且画出某一种曲綫來. 我們現在就來討論这种滾動圓的外點和内站所描槍出來的曲袭。 枕木 糊36.火事車输篇翻上的點是怎样运助的？ 母園的内點在它运動時神箱出了一条曲棧，叫做“短擺接”。过0。點，我們画一个辅助圓（圖36）。当母圓沿直袭 AB滾動時，小圃就沿着直畿A'B滾動，但是跟滚動一起，它 还有滑動；在分析亞里土多德的詭辯特，我們已經說过这一點 固36.短耀链 ==========第47页========== 4 撬 横 了（第12-13頁）。这样，我們就可以說，短擺綫是由沿準護連滾帶滑的圓周上的一點面出來的。 跟这相似，圓的外點描箱出一条所靜“長擺蕤”。長襬綫也可以看作是由滾動圓圓周上的一點產生出來的曲棧。但是这滾動必然件隨着反方向的滑動、 藏者可以月己去想出一个逐點作長擺棧和短擺棧的方法。也不难設計出一种实驗工具，像圖5上画的那样。我們 國37。長拥镜 不再把这些群細分析，立刘就把短擺筏和長擺棧画成“現成的形式”（圆36和37）。短擺镬很有黏像正弦曲棧，而長罷機却是一条有环的美麗曲棧。現在我門把短擺綫和長擺楼都啡做“旋编钱'©，在古代，法國学者們却用这个名字來称呼所有和圓沿直護滚動有關的曲綫，連普通的擺袭也包括在内。 我們所熟藏的托里拆利、卡瓦列里、罗别尔瓦里、笛卡完，都研究过短擺綫1長䎱袭的切棧。連氏食經証明，这些曲護的弧長都等於某种橢的胍長；这种橢圆，只要知道擺棧的母圆和底的長，就不难把它作出來。这一點，我們不想多說。 玥在应彩叫做久襬绥。·一譯者註 ==========第48页========== 提 超 族 45 我們單來談談这个著名的滑稽問題：火屯上娜一點是胡着跟火車运動方向相反的方向运動的？答案很清楚：这是車 輪输圈（输綠）上最低的一點（圖38的E點）。如果革輪向右 滾動，邢未，輪称上的最低部分就向左移動，而输綠上最低點的运動方向是跟輪心的运動方向相反的、 圆38、滑間題的答案 現在你來看这件大家熟悉的玩具一-“不倒翁”。圈39上画的就是它。不倒翁的下面部分是牛球形的，上面部分却 圆39.不倒贫 ==========第49页========== 46 擺 械 沒有什频異样。它的下部有一塊舒，因此它的重心就落得非 常低（圖39的M點）。知果把小塑像按倒，它的重心就画了一 段短擺的孤：要知道，在艺裹，从本質上設來，我們是在跟沿直袭孩動的圓的内點的运動打交道。要是把它按倒後再鬆手听它自便，那宋，它就会搖來擺去，使它的重心侭可能落得低，这也就是設，“不倒翁”將回復到直立狀态（站起來）。 外擺袋 說过畿的親姊妹之後，我現在來款談它的堂姊妹.我侧仍舊啡母圓滚動，但是不叫它沿直淺滚而鲜它沿另一个圓的圓调外面浚、根据定圓和動闺（準和母☒）半徑的此例，就会得出不同的、然而是同類的曲钱、所有这种曲護通称外擺韆. 我們先來談母圓华徑此準國牛徑小一倍的那种外擺镬。在这种情形，就得到了一条像圖40上面的有雨个尖點 一“歧點”—一的曲棧。要是“定圓”牛徑是動圓牛徑的三倍、四倍或六倍，那末就分别得到圖41,42,43面的曲袭。 40.有雨个尖點的外耀毅 ==========第50页========== ==========第51页========== 48 拇 钱 就是那些研究过普通擺钱的学者們，建立了作各种外擺護的切綫的法則，以及外擺棧的量度性質（就是和計算它的拱弧的長、它所圍的面積等等有關的性質)。这些性質的推算，和普通擺錢的相应性質的推算非常相以；我們現在立刻刘水報道現成的结果。 我們來看圓心是O的準圓（圆44）。設M。點是具有三 个尖點的外擺綫的歧點（如果不是三个歧點的，論証也差不多 沒有什藤改变)、。再設O1點是動圓（母圓）的圓心（这个圓在： 圈44上是用虛畿画出的)。我刚來作外擺綫上跟母圓上M。 相应的點M。如果我們用p來表示角O1OMo,那未角O01M 一定等於3印（当然，滨動是看作沒有滑動的)。圓心O1沿着 垂直於OO1的方向运動；M點也参加了这一个运動。此外， M點还参加了繞着圃心O1轉的搏勒.用跟普通擺綫完全-一 样的論証，就可以導出結果：外罷綫的切綫經过母圓的“最高 點”(A),而法綫却經过最低點(B). 和对普通的擺镬一样，我們用宇母a來表示母圓的 39 牛徑.在普通擺綫，數目，就可以完全把擺袭决定（就像圓周完全可以从它的牛徑泱定一样)、在外擺筱的情形，还必須要說出另一个墩目：就是必須要說出定圓的牛徑 团44.外撰的切钱和法钱 是動圓的牛徑的袋倍、这个 ==========第52页========== 擺 钱 族 49 數月，我們將用字母%來表示。在具有两个歧點的外擺袭，%=2,在具有十个歧點的外擺筏，=10，其他的類推。对於圃40,41,42,43上画的外擺棧，數目就分别等於2,3,4,6. 用了这些記号，具有乳个尖點的外擺袭的一个拱孤的畏，我們得到下面的公式：l1=8(n+1a 普通擺綫，和直袭一样，是無限的，因此就不可能談論它的全長，相反地，外擺綫是有限的（像側一样）。所以就可以同它的拱弧的長一起水款它的全長，当然也就是它一个拱弧的長的%倍、 外把瘦的全度是： 1=n1=8a(n+1). 完全一样，欲到面積，我們可以求出定凰和一个拱弧所圍的面積的公式，也可以求出閉曲畿一外擺綫所園的全部面積的公式（簡單的擺綫不是閉曲袭，因而面積本身决不是有限 的)。我們用S1來代表準圓和一个拱弧所圍的面横，而外擺 镬所圍的全部面積却用S來表示.顯而易見，S等於S1的m ©叫 删45。外擺棧所轛的i辞 ==========第53页========== 50 耭 棧 倍加上定围的面積。 这就是S1和S的公式： S13n27a2;=(第+1)(+2)r2 在阎45.上，我两用點點出了-3時的面積S1和S. 我們把”等於各种值，也就是具有雨个、三个等等歧點 外襬袭所对应的值L1,【,S1,S列成一張表。这時候我捫要： 意，对於所有的外擺棧，動圓都假定是一样大的，而定圓却髓着歧點的數%而拎人。 外 擺 钱 其有两个 贝有：个 段有四个 集衔五个 尖照 关蜡 尖 尖北 12g 324 10a 4品4 3 5 24 32a 40% 48a S1 4Ta? ra2 d 3 2 a 店 S 12T2 20T2 30T2 42T2 我們現在把擺袭生的条件作一些修改。我們來肝究圓 心O的圓（圖46），並假定另外有一个用匀速轉動着的圆的圓 心沿着这个圃运動。这時候，轉動圓圓周上的點描出了什麽样的曲嶘呢？ 在本書開头，当談到托勒密的字系（第1415百）時，我們宜經碰到这样的問題。实际上，所的作圖方法使我們得到了托勒猫的外擺錢、可是，托勒密的外擺綫是不是就是“其 ==========第54页========== 擺 機 族 51 止的”外擺棧呢？不难看H, 这不是的。要想得其上的 外擺袋，必須特别去挑选O1 點的速度和動围旋博的角速度的此（敲者，請你做一这种計算)。知果動团在其他此例的速度之下沿着虛斯國(周46)帶着滑動而泼動，那末秸果得到的不是正規的外 圈46。托勒密的外玀烫 擺錢，而是短外擺錢利長外擺綫(47,1和6)。 a D 國47、短外擺钱和廷外襬錢 我現在設想，在一个定环（圆48）外套上为外一个動的环，它的半徑是定环牛徑的啊倍、三倍，一般說來，是倍、用幾何学的話來蕃，我們說，定側内接於動圓。外面上內接於 襄面定圓的勘，描翰H的脚棧叫做舒紆逦外擺棧。但是款論舒 ==========第55页========== 62 擺 機 蜀48。籽迴外搦棧 塑外擺棧的性質，是沒有意义的：因为在更仔細的癣究之下，每一籽迥外襬筵都是某一种外擺袭. 心賺钱、蚌钱 我們談外罷蔑，直到現在：都是假定定圓的牛徑是動圓（母圓)牛徑的多少倍.然而决沒有人可以阻止我們去研究動圆等於定圓的那种外擺袋，也就是北-1的外摆綫。邢种外擺袭叫做心嫌棧。因此，心藏袭就是沿着同牛徑的定圓滚動（無滑動)的圓周上的點的轨跡。图49上画的（黑袭）就是一个心赚栈， 调於心赚镬的切袭和法袭，沒有說的必要：它本來就是一种外襬钱（凯=1），因而具有这种曲筏所共有的各种性質。只 是得注意，对於心横綫來殺，'任49上，角OOO1和角O0)1M ==========第56页========== 耀 棧 族 53 是相等的。 完全一样，心暖簇拱弧的度（它等於曲钱的全長)和它所園的面積的公式，可以在第50百的公式襄直接把n=1代人得出.因此，对於心藏钱，我們就得： 园49。心较钱 1-l1=166; S1=5Ta2; S=6743; 在圖50上，画出了面積S1!S。把心藏签德着它的对 称軸（陶49上的OO0)旋轉所得的体，很像西紅柿（参看国 51)它的体弑蓉於. 聞50.心装钱的面積 ==========第57页========== 54 淮 棧 心戴袋：行下面的重要性質. 把心藏袭上的仕意一點M和它的 歧點'Mo連接起來，像闆52所 画，我們來注意弦MM,和定圓的 交點K.角MOO1和角OO1M是相 等的（这一點我們刚才說过了一参看圖49).牛徑OMa和O1M也 国61.心藏楼莲生的 旋轉体 相等。这就是說，弦MoM和連接圓 心的楼段OO1本行.完全一样，KO∥MO1.因此，綫段KM 等於綫段OO1,也就是等於定圓（也就是動圓）的直徑。我們 可以把點M。(歧點)和心戴綫上的任何點連接起來，在連接 歧點和曲筏上的點的弦上，曲棧上的點和定圓上的點K中間 的邪-一段，總是等於母圓的直徑。於是，我們就得到了下面的心搬綫作圖法。用O作围心，画一牛徑a的圓，在圓上任取一 超2.心警錢的通要性 倒53.心楼钱的作翻 ==========第58页========== 擺 機 族 56 斯1。（阁53）。过M。點引-一束射綫（在我們的圖上共引了六 条射钱；射綫取得越多，得出的曲袭就越特雅)。从射袭和假的交點，沿射綫向雨边要等於直徑的綫段。用这种方法得 出的點的軌跡，就是用粗棧四出的曲綫。它在直袭AB右边 的部分，根据剐才所說，是心饿棧的弧。藏者，請你証明一下左边（虛綫）部分“粗黑的”曲綫捕上这个弧就战完整的心藏棧。 我捫暫時把心臟袭放下，來做下面的遊戲、設有一个参加者站在圆54 上画的O點的位置，其餘的人在他的 面前挑成直钱豫形，但是其中每一个人要轉動一下，使得他自己正对着他的指揮者。在圖上，参加遊戲的人都 0 用短綫表示，他的腿棧方向却用小箭头表示。要是指揮者命“向後轉”，然後吩附每个人向前走十步，仍舊保持原來的方向，邦末除形就混乱了：原來的直綫变成一条奇怪的弓形曲钱了.这条曲袋啡做尼哥米德蚌钱©，是用究它的古代希徽学者的名字定名的. 参加遊戲的人：在開始特可以不圆54.直钱的蚌楼 白精確典說，这门是尼哥米德虫棧的一（一枝）.（藏再脑袋行，就会并清这一點了.) ==========第59页========== 56 播 钱 排成直綫而排成某种曲钱。重要的是他們都要正对着指揮者，並且在命合“向後轉以後走同样的步數、在这种情形也得到一条曲綫，它也叫做蚌畿。 現在我門來作精確的幾何微远：設有某一曲棧和點O(这 一點，我們把它即做“極”)。过O點引一束射緵，並且在每一 条射畿上从它和已知棧的交點向雨边作等長的綫段。这些袭段末端的軌跡就定出新的曲棧，叫做原曲綫於已知粳的蚌綫。我們來注意和剛才說过的遊戲此起來稍微複雜一些的事实。在那寒一参加遊戲的人是朝着一边走；在这装，緩段却是从曲棧和射綫的交黏向雨边！。因此，完整的蚌綫是由雨枝組成的，不过它們有特侯却合成了一条曲蔑。从这带看來，尼哥米德蚌棧（關於它，根据上面說的，也必須把54上用虚钱画的左边部分加上去)也就是直蔻的蚌護。 宽55.各种曲战的蚌机 圆55上画的（用虛袭画的），就是各种曲楼的蚌棧藏者可以想像，倒關於它倒心的央手棧是一对圓，它們和已鬨问心，並且和它（阁55上中間的圓）等：. ==========第60页========== ==========第61页========== 58 擺 线 我們現在來看僩周關於它本身上的一衡的蚌棧。我不难認出，它是我們的精識：圓關於圆上-~點的蚌镂就是心朦镂。要相信这-一點，只要乔一下阁53就行了. 已知曲筏極，父們能够得到的不是-一条蚌綫：只要把所作筏段的長短加以改变，得到的是整个的丰接“族”。在圈56 :,画了（用不同的虛棧画的）直棧AB關於極O的三条蚌棧、 (襄面每一条都是由雨枝1成的：) 要是我們取一个阗，並取它上面的一點作为板，邢未只当取殘设等於直徑時，我門方得到心戴楼。在取为外人小的簇?设時，蚌畿將是長心兼筏和短心赚钱。这种畏或短的心曦錢有特候也叫做巴斯噶蝸华袭。在圖57上，画了一个心職袭(中間的)一对蝸华護”. 心臟綫在技徘上有許多用处.机器上的隔心输1隔凸輪都用心職綫的形式。有時候，在齒輪製圖時也用到它。此外，光学技俯上也用到它、 内棚棧 如果大圓不動，而内接於大圓的小围茨動（阁58），那末小团圓周上任何一點画出的曲杀棧，啡做丙擺綫。如梨動圓华徑是定阅华徑的分之一、三分之一以至分之一，邪末得到的内襬袭就具有雨个、三个以至个歧點。髓者，請你自己武就看，作一个具有雨个歧點的内擺棧的圖：你会得到一个非常有意思的秸果。請你把这个結果彼速出來，並且加以証明。圆59a,0,B画的是具有三个、四个和六个歧點的内擺 ==========第62页========== 耀 钱 族 69 袭。如果内团在外圓中滾動時带有滑動，邢就会得到長内擺棧和短丙擺機，像圖60和圈61,上画的. 内擺諓在任一黠的法棧，必通过定圆和動凰的公切點；内擺棧在任-一點的切綫，必通过从这公切點所作在動圓上的直徑的另一端。 58.内擺钱 对於具有？个歧點的内擺護，知果動倒的牛徑用a表示，定圓的半徑用2%表示，那末内擺接每一拱弧的長1，內擺 綫的全長(，内擺袭的每一个弧与定圓所夹的面積S1,以及内 擺簇所包的面積S,可以用下列的公式來表示： 1=8n=10a, 1=8(m-1)a% 13n-2升亿2 S三(m-1)(-2)Ta2; 这些公式和外擺镬的相应K的公式（第49-50質）很相像. 我們从所有的内擺袋寒挑出可注意的一个一·有四个尖點的一來研究一下（周596）。它叉叫星形镂，因为形状像星。通常關於星形綫的公式不用勛圓的尘徑來表示，而用定圓的牛徑R來表示.在方支离出的公式寒，使2：4，把a换成相等的量”，就得到星形筏的公式： ==========第63页========== ==========第64页========== 摇 楼 族 61 -是， 1=6R; 是， 因此，星形线的全長等於動圆半徑的大倍，它所園的面嶺等於動圆面積的入分之三。 我捫來考慮星形棧在I點的切棧AB(62)。像一 内擺棧一样，切簇AB必通过T點，T點是動圓上从定圓和 功圓的公切點K所作直 徑的另一端、如果角 O1OMo用p表示，那末角MO1K等於4p(为什縻？). 等腰三角形T'O1M雨底角 900 的和等於頂角的外角4p, 049 因此每一个底角等於2g. 00 三角形OTB内，OB底的 B B 兩底角的和等於2即（根据 圜62。星形綫的切戳 同一个關於三角形外角的定理)；但是角TOB等於（我們最 初就是这样表示的)，那末角I'BO也等於P;三角形OI'B是 等腰三角形，OT=BT?。同样的，可以証明TA=OI=TB、 但是OT是定圆牛徑動氯直徑的差，等於定圆牛徑的 二分之一，就是：.因此，是形袭切毯夾在定凰互相正交H 通过歧點的雨条牛徑中間的段，長等於定圆尘徑，跟M點 的选挥無關. 这一个事实，使我們可以按照下面的方法水進行星筏的 ==========第65页========== 82 撬 栈 作圆。画雨条互相垂直的直棧；再画一些長R的镬段，使它 們的雨端恰好在这雨条互相垂直的直袭上。在圈63上，面了12条这样的袭段（包括互相垂直的雨条直袭本身上的雨段）.这种機段画得越多，得的曲袭就越精雅。然後再隨手画出这兰護设的包貉（在圖20上就已經碰到过包貉了），这个包絲就是星形镬。 在圖64上画的是星形钱旋轉体，將尾形镬繞着通过一条直徑雨端點的直綫旋轉，就得到星形棧旋轉面，它所圍的体積 就是星形镬旋轉体。星形粒旋轉体的体積筝於器πR巴，旋轉32 面的面積等於号πR. 現在回到在第58頁，開始講到内擺綫時我們會經建議藏者自己做做看的問題，就是關於=2的情形一一其有雨个歧 點的内擺袭。設動圓的側心在某个位置O1(厨65)。隨定内 罷线上相应的點，只要作角KO1M等於角O1OM的雨倍.但 是動圓無論在什麽时候都通过定圓的中心。角KOM=a是 圖83.是形幾是它自己的所 有切接的包貉 测64.起形旋缚体 ==========第66页========== 擺 棧 族 6 動圓的圓周角，而角K()11等於2α，就是動圓倒周角的雨倍， 也就是動圓的圓心角。因此，點M必然在钱设OM。上。不 論O1在什麽位逢情况都是这样，於是我們得到了下面有趣的 結果：設有一圆丙內接於另半徑雨倍大的定圆而無滑動地滚動，那末動圆圜周上的點就在定圆的直徑上运動，哥自尼就已經發現这条定理了. 在这种情形，我們浼，内擺钱“退縮”成了一条重複 雨次的直棧段（點M从直 徑的一端到另一端，水回雨次).如果在第59页的公式 寒使%=2，邶末面積S等於 圖65。哥片记定理 0,整个“曲袭”的長等於$1，就是等於母圓直的雨倍再重梭 一。这正是我們要求出的秸果。 現在使動倒的牛徑6保特不变，而使定闻的半徑肌無限增火。换句話說，就是使m取-一連串逐渐增大的值：九=3，%=4，m=5等等，值到無躬、这样，定就“越拉越直”，最後趨近的撷限位囹 概：66.定阗半径的無限培大 是圖66上的直袭AB。内提 ==========第67页========== 64 探 截 袭也將逐渐“伸展”，最後達到板限位置特是普通的擺筏。看 一看開於内擺簇每一个拱抓弧長的公式以及相应的面積公式將变成什麽形式、内擺袭一个拱弧的弧長是： 4=8"n1a-8a“=8a(1-).当儿無限增大時，等式右方括弧内的闪子超近於1，囚为 梅近於零。因此，拱弧的長度趨近於8a,正是普通擺镬每一个拱孤的長度。 關於面積，我們有公式： S1=82mw=n(8-兰）. 当几無限增大時，i方趨近於3π2，正是普通攏棧每一个拱弧和它的底袭所圍的面横。 請就者对外擺袭作同样的研究。 具有無弟多个拱弧的外擺钱 到現在为止，我們只考慮过定圓牛徑比動圓牛徑大整敷倍的情形。但是也可以使定圓牛徑是動側牛徑的1号倍或3子倍。在外擺緩的情形，还可以使大闾在小闻上滚動。换 句話說，定圓牛徑和動倒牛徑的比可以是一个分敷：对於内擺棧，这个比是假分數；对於外擺棧，却可以是假分數，也可以是其分数. 圖67上画的外擺錢，它的定圆牛徑是動间牛径的一倍 中，就是%一号.不难理解，動周钧一周相当於定闲上的120 弧。點M画了三个环1以後，再回到1o點。無論这条筏 ==========第68页========== 襬 楼 族 65 的形狀多嬷不普通，多嬷“紊乱”，它愁究还是外擺綫：因为在它每一點的法袋必定通过動圆和定圆的公切點，它每个拱孤的長和每个拱弧1定圆所凰的面積都可以按第49-50百所列的公式來計算（取n =)：只是照於整个曲 圆67.门交外撰镜 楼所包的面精，这時侯失掉了意义：因为各个拱弧彼此之間有相交的情形發生， 在圆681,6，B,上，画了機个具有不同分敷值m的外擺镬和内擺棧。 考惫这畿个圖，不难得州下列的結論。如果外擺綫定圓 牛徑和動圓牛徑的此R:%等於某既約分數卫，那末動圓需 要滚卫（就是。×g)德以後，1中回到M的位置.因此，曲護是阴曲蔑。它具有p个歧點和单(9一1)个自交點.在圆69上画的外擺键，p9等於5：3（就是欲n=令）.它有 9 5(3-1)=10个自交點，5个歧黏。同理，在阎70所画p:q=2:3的外擺镬，有2个歧暂，2(3一1)=4个自交點.最後，在圖67上画的外襬棧有三个歧和三个自交黏，正像由普逼的公式算出來的一样。注意，所有这些外擺綫都内接於和定圓同心的一个圆，这个圆的华徑等於定圓华徑利1動圓直徑的和。这些曲菱整个都在由雨个同心圓所形成的圓环襄面. ==========第69页========== 66 摄 钱 ☑，外撬線n=号 6,外撬線n=亭 8,内耀線几=多 2,内几= 圖68.为分數值诗的外罷袅内擺钱 現在再看一个此較有趣的情形—一動圓牛徑和定圓牛徑的比是無理數的外擺錢。圆71上画的定圓，它的牛徑等於以動圓尘徑为边的正方形的对角棧。换句話說，此例R.亿z√Σ是一个無理敷。定圆牛徑和動圆牛径是不可通約的，不管用多夔小的棧段作量度度的單位，它們的乘積不可能表示成一个整數。因此，由这雨个圓所作出的外擺錢永远不会阴 ==========第70页========== 播 钱 族 87 n= 墨89。n=高畴的外钱 园70.=을的外 合起來，永远在不停地打环扣。它有無绷多个歧點和自交點当然，圖71上画的只是这个有趣的曲錢的一部分。 不但这样，我們这条脚筏將画出無掰無尽多的环扣，越來越密地塡在由雨个同心圓所園的环带形區域内。曲篾上的黏是不是把整个环帶都塡滿了呢？是不是在曲镬的环扣襄面还有空白 倒71，锄倒半徑和定倒牛徑的 點呢？换句話說，是不是可 比是纸理數特的外擺钱 以断言，曲機的环扣是充分多，多到对於隨意选擇的一點，比 如設A點，都有一个环扣通过呢？大概你很想給这个問题一 个肯定的答案。但是这却距离事实很远。在环帶形區域襄有許多的點（这种點有無崩多！）不在我們的曲綫上：这些點都是 ==========第71页========== 68 钱 衹上的空白點！有趣的地方也正在这寒。任迕收环带襄的一點，我們的曲棧必定可以任意地接近它。假使我刚在环带形 區域襄指定一點A,並且选定任何一个非常小的棧段，例如等 於0.001，那末我們的曲棧当画了足够多的环扣以後，一定 怒过和A點相距小於这个虥段的某些點、此如預先給定的距 离是0.000001a,甚至是0.000000001%，曲綫或早或遲一定 錾过和A點相小於这些棧段的某些點。这种概念可以用 箭單的話來表示，我們設，綫上的點在环带形蓝域内是处处稠密的。得到的桔果看起來好像是自相矛盾的：一方面，在环帶形區域内有無朝多的點是曲綫不通过的；另一方面，曲護上的點父在环带中是处处稠密的！ 要想“揭穿”这个谜，必需用到無射性这个概念一就是我食經在講亞里土多德的脆辯時提起过的（第12百）。付是在这本書襄却不能多講日。我們僅僅指出，有一种曲钱可以毫無例外地通过某一个由閉山綫所圍的阻域襄所有的點例如，通过某正方形内所有的點。从直覌上看，好像这是不可能的，但是近代數学却完圣能够証明这种曲筏的存在，並且可以研究它的性質。 我們逐渐离開主題了，現在再回到它上面來一·摒棄抽象的推理而用簡單的圆，看一看腐往往比嚴格的証明得到更多的东西。古代的印度敷学家常常在他們的幾何著作襄用一目了然的圖例來代替証明，在阍旁窝着：“蒂看！ e这些間题在数学上所謂“合論的球一部分襲蕃到， ==========第72页========== 第四章漸屈緩和漸伸縫 自然界裹耐人喜思的東西太多了！ 克雷洛夫 渐伸钱 我們已經講过（在第37-39頁上）英國学者連氏怎样計算了麗機拱孤的長度。要把連氏“提示性的推理”加以散格証明，需要花很多力气日。在这襄，直達的途徑太陡了，所以还是取一条比較長些但是“不坦”些的路來得方便，而且能够此較快地递到目的。这条过迴的道路牵涉到一种特殊的曲護一按它的性質來說，也是一种件隨曲護；每一个平滑的曲蔻（包括擺袭在内)，都具有这样一条件随曲綫。这条“件隨曲镬”即做原來出幾的渐伸袋。 護我們來看一下曲镬的凸弧AB(圆72)。我們設想把一 根不能伸缩的、和AB弧等長的锵護，一端固定在AB弧上 ©証明这一類定理的方法於“横分学”。 〔69) ==========第73页========== 7c 耀 钱 的A點，並且使絲綫緊緊地貼 合在弧上，它的另一端正好落 在B點上。 把絲綫“伸展開”—拉直，並把它拉緊，使得絲護的自 励72.曲钱的漸伸凝 由部分0M的方向永远是合 於AB弧的切棧方向。这导候，絲綫的端點就画出了一条曲 綫。这条曲綫就啡做原來曲錢的摲伸錢。 可以用洋鈇片或粗铁來製成原曲棧的形状，把它繁貼在紙上，而在絲袭的一端拴一技鉛筆；这時侯釙筆就会自動割出渐伸筏。只需留意到特時刻刻把拴着铅筆的絲嶘拉緊。 调73、曲钱的变曲點和撕仲钱的歧贴 如果曲畿弧並不是全向一边凸的，如果它像圖73的孤 AB,在C點的切筏由曲綫的-一边穿到另一边來了（这种點叫 做变曲粘)，这時候我們仍然可以講曲棧的渐伸棧，不过要考能得更多一些。 使絲綫拾好固定在变曲黜：C(豳73)。在BC弧上的絲 綫段伸展開時劃出出袭BMP一渐伸綫。 現在再看贴在原曲袭C狐上的絲綫段，不过这時候它 已經延長了：在C,这条缺綫段和絲棧段CP接起來了.把 延長了的絲钱ACP从曲截OA伸展開，我們就得到曲畿孤 ==========第74页========== 渐厨棧和爾伸棱 71 PHK,这孤和弧BMP共同組成一个速锁曲棧一一連精的， 但並不是到处平滑的：因为原曲棧的变曲點C所对应的點是 曲綫BMPHK的歧點；曲棧BMPHK就邮做曲綫BCA的 渐伸淺。 清伸钱的基本性質 画某一曲畿的渐伸畿時，应骸時時刘刻把絲筏拉繁。由 於这个綠故，絲錢段CM的方向總是和曲棧在G點的切镬方 向一致的（圖74）。当絲棧移動時，拴在它一端的纷筆 尖煓就好像画出以G为圓 心、CM为牛徑的圓上的一 小段弧。当然，如果絲糕伸④ 展開得略微大了一些，點M 变到了點K,那麽铅雏尖端 国74，渐伸钱的基本性質 就会在另外一个圓上运動一就是在个以E为圓心的圓 上运動。渐伸袭可以用一些围來表示，这些倒的华徑隨時在 变動，圓心却在曲袭AB上滑動。但是在每一瞬間，切點都可 以看作是某一無翁小的側弧的圓心，这个無射小的圓弧和渐 伸镬上的一个無蹦小的圍弧相吻合。點C因此地叫做瞬時 圊心，或渐伸袭的曲率☐心。因此，任何曲线都是宅的渐伸钱的曲率圆心的軌跡. 因为渐伸袭MK的無霸小的胍和用C作圓心、CM作牛 徑的無翁小的圓弧“匯合”，所以渐伸袭在M點的切護一定垂 ==========第75页========== 72 瓶 直於瞬時牛徑CM。这样就得到了重要的桔果：渐伸綫的方 向（就是它的切綫的方向）必垂直於原來曲綫的切棧。从这襄就得到：澌伸綫的法緣是原來曲綫的切线。 我們也可以說：渐伸袭和原曲线直交。这是渐伸綫的一个非常重要的性度，所以要在这上面多停留一下。在偏75 上，画了曲镬AB(用实錢输出)以及它的一些切筏（在各不同 的點)。在这个阁上可以看出，得到的並非-一条而是無弱多条和这些切筏直交的曲畿（用虚钱翰出）。这些曲綫襄的每一条 都是棧AB的漸伸綫。事实.上，如果使絲棧贴繁在曲棧AB 上，再使絲袭在A點固定，在B點拴上一枝鉛筆，那末把檾镬 伸展開時，鉛筆就画出一条曲綫。但是铅筆可以拴在絲綫段 的任意一點，例如在點C、D、E等等，那末铅筆就会画出和曲 綫AB的切钱直交的許多像圆上用虚棧画出的曲畿裹面的一 条，所有这些用諓画出的綫都一样情形，每一条都可以看 做曲棧AB的惭伸钱。这个結果可以敍远知下：平滑的曲线 具有不只一条而是無粥多条渐伸綫。 仔細看看圆75，我們就会產生一种想法。我們看出，对於某一已知；綫來說，所有它的各个渐伸袭都是互相“季行”的一一平行要用这样的意思 來了解，就是說，曲畿AB的所有切綫 在雨条渐伸淺中間的棧段都有相等的萇度，就像在雨条平行直棧中間的所有公共垂的綫段都具有相等的長度 75.撕伸钱族 ==========第76页========== 渐屈棧和惭伸筏 73 一样。 在笑用上最重要的是渐伸棧下面的一个性質，这个性質 由漸伸镬的作圆法立刻可以得出。弧BC的長度（見第70頁 上的圖72等於直袭段C。我們知道，不可伸縮的絲棧段 CM是繁聚地贴合在弧CB上的。从这襄就得到下面的定 理：曲綫的弧長等於切棧切點到和相应的渐伸綫相交的點 这一直镬段的授度。更精確一些說，孤月B的度等於切线（在 A点的)在切點和通过B點的浙伸线中間的袭段的長。 到現在为止，我們談到的是下面的問题：求已知曲钱的渐伸筏（就是渐伸棧的作圆圖）。但是可以提出反过來的問題：已知一瑚淺，求作另外一条曲菱，使前者是後者的渐伸淺。解决这个新的逆問题，將用到这个事实：渐伸簇的法綫垂直於原曲綫的切綫。先作这已知曲镬的一些法綫一一这曲棧是目前还不冒知道的某曲綫的渐伸護。作出的法淺數目越多，圖就越精雅。在圆76上画了七条这样的法護。 順便藤一下作法棧的適当方法。假設要作曲錢 AB在M點的法棧（圖 77)”拿一面不太大的、边筆直的缓子（如果拿一 入 个發亮的金腾尺就更好)。6-把笼子垂直地立在紙上，随边放在下面，使商边通 过點M(僩77方的鏡 馏7G.怎样根据渐伸栈找原曲钱？ ==========第77页========== 74 报 餞 子)。这样，綫在镜子行方的部分就映人了镜子襄，以 致於題出在點M有-·折断 的曲綫（曲棧1它在餓子寒 的像在M點相交成某一个 A 角度，像我們圖上P點面 的)。小心地挪動鏡子，一直 國77，用小镜子作法钱 到曲綫和它鏡子裹的像联成一条本滑的（沒有稜角的）曲護， 像我們圖上右面在M點画出來的样子。現在用鍁筆順着鏡 子的直边作-一条蔺綫：这条直綫正是所求的法綫 学会了作法袭以後，再回到圖76，在这圖上已經作了七条法綫。剩下的是要作一条山棧和所有的这些法棧相切，换句話說，就是求作所有这些祛筏的包絡（何憶一下，我們早在圆20襄就已經跟法棧的包絡打过交道了)。顯然，我們最初取定的袭將是作出來的这个曲淺的漸伸袭。这样，就解决 了所提出的問题：我們按已知曲钱AB,求出了以曲镬AB为 渐伸綫的另一条！袭。 法棧的包絡是肝究棧性：質的一个重要的辅助汇具。它啡做原來巴知曲袭的新屈线。因此，每一曲綫都是它的渐伸綫的渐屈畿，又过來，每一钱都是它的漸屈綫的-一条渐伸袭。从韆輯的覌點來看，漸屈棧渐伸淺之間的關係正好像平方敷！下方根之間的影係：如果化數是乃敷的本方，b敷就是u敷的-一个平方根. 我們已經看到，任-一条滑的綫都其有無射多条互相 ==========第78页========== 撕屈楼和新伸德 75 “本行”的撕伸棧。从用不可伸箱的絲棧求潮伸綫的作圖法襄，就很明顒地可以看出这个事实©。对渐屈棧來說，这就不很明顯了。是不是对任一条曲筏都可以作出它的法綫族的包格？十七世紀的学者們正明，对所有他們宜怒打过交道的曲钱來說，撕屈畿慈是存在的。我們在下面就要証明，擺袋具有完全唯定的惭届袭。但是在一般情形，事情怎样呢？这是不是对任一曲機都对呢？ 要回答这一類問題，初等數学是無能为力的。但是在高等數学襄証明：每一条平滑的曲栈都具有唯一的漸屈棧。例外的只有那一种曲袭，它所有的法綫是交於一點的，还有一种曲毯，它所有的法棧都是互相邓行的。所有的法袭都交於 一點的曲钱是圓（圓的法袭是牛徑，大家知道，圓作徑是垂直於切钱的)。所有的法護都互相下行的袭是直綫：直嶘和它上面各點的切袭重合，它的法袭就是通过直筏上各點的互相平行的諸垂畿。最後的一般命题可以这样微逃：除直线和圆以外，任-一条平滑的曲镂都具有准一的渐屈线。 圓的漸伸綫 在數学書襄，郎使是通谷的數必書襄，可以談到比知說甲虫嗎？可以的。不过話得从远处說起. 我們現在已怒知道，圃並不具有渐屈袭。它所有的法钱 ©只有在極殿格的近代擻学鹱，扌要求缸：明这样一个然成立的命题不过說句公道話，近代數学不馑要求，而且实际也耠出了証明。这些間通在高等政学叫做“微分线何”的邪部分装加以考成， ==========第79页========== 76 撬 棧 都相交於一點-圓心。换句話說，屢的渐届綫“蛻化”成一點了。但是厨具有渐伸綫（这並沒有什麽特别：我們知道任何平滑的曲綫都異有惭伸綫)。这个渐伸镬是擺綫的近親、 我們从作圖朋始。把 一个用膠版製成的圆片固定在紙上，把絲綫的一端固定在圓片的边緣上，並且使絲綫緊緊地繞在圓片的边綠上。在絲袭的另一端桔一个小圈圈，好套進铅筆的尖端去（圆78）.这時筷要是把絲筏“伸展”,鉛第就自動地画出了渐伸綫。当然，絲袭应当 78、判的渐伸横 拉緊，而铅箫尖应当紧贴 着紙曰. 圓的渐伸袭可以用另一种方法得到。武看一个牛徑的固定圓，和跟它相切於1o點的直袭B(圖79)。知果直镬 AB無滑動地在圆上滚動，邦末M。點擷然地画出了这个圓的 渐伸綫。事实上，对这曲钱上的任何一點江來說，滾動着的 直護KM一定是它的法綫，並且棧段KM的長等於固定圓上 的MoPK弧的長. ⊙比較衡單可是不太精的画法，是用榜棧的軸來代替阅片，把钱時特刻 拉聚，並从钱触上伸酸開，就以画H出新伸钱 ==========第80页========== 渐棧和獅伸钱 77 这样說來，圆的漸伸镬就是“翮了一面的擺綫”.在擺棧的情形是功圓無滑動地在固定直钱上浚勁，在圓的渐伸綫的仿形是勐直錢無滑动地在固定圓上液動。 在圖80上画了一副最簡單的燒板。在圓柱形木墩上放了一塊木 圆79.直钱在闻上波助 版AB,使它的中點切於木墩。如果使板傾斜，会發生什情 形呢？我們知道，木板要回到原來的位置，然後由於慣性，又要倾斜到另一边去，这样反没地個繞着平衡位置而搖漫。当然，要这样，木墩和木板就必須是粗糙的，不然的話，木板就会沿着圆上箭头所示的方向滑動、 为什麽木板会回到它原來的位置呢？这一點不难想通。 周80，衢單境板 ==========第81页========== 78 摇 栈 大家虹道，任何物体在重力作用下它的重心是向下降的。要回答我琍的调题，只要知道使木板从平衡位置骼微傾斜特，它的重心（中心）作了什麽运動. 这一點我們現在已經清楚了！木板中心将要画出圓的渐伸棧上的一段弧。这一部分惭伸钱在圆80上用虚綫画出我們看到，当木板略微傾斜時，它的重心上升了，这就設明为什麼木板要回到平衡位置。顯然，这个不衡是穩定平衡。 圓的惭仲綫和擺袭類曲綫間的親屬關係可以从另外的途徑來悯明。我們已經說过，在外擺棧或內擺綫（圖66）的情形，使固定圓的半徑無限增大、而動園的牛徑保持不变，就得到擺棧。要是我們把注意移轉到籽迥外擺綫（第51-52頁)，使固定圓的牛徑保持不变、而動圓的华徑無限增大，或者說，把動圓“变成直綫” 圆81、动圆無限培大 (圖81)，符迴外擺棧就变成了圓的漸伸綫。 我們不預备在这裹推演出開於求圓的惭伸筏的弧長和它的扇形面積的公式。我們只介紹一下現成的结果(圆82)。渐伸棧狐MoM的長度飞和局形MOMo的面積 82。的渐伸棧的弧長和铜形面稍S,有下面的公式： ==========第82页========== 商棧和藕伸凝 79 l=-9 S=a2 p8. 这雨个公式，有趣的地方就在公式裹出現了角的二大冪和三火震一这种情祝可能使佰生人感到困惑。我們再一水着重的指出，这時的角印，必定是用弧度表示的。.知果角HOM。是角度，例如等於a°(a角度等於p孤度)，公式就取下列的形式： l=a-2a2 a.2a9 218u2648J01 S=axasa2rsas 618J=34992000· 我們提醒讀者注意，角度p弧度（或α度）是指我們圆上的HOMo角，而不是撕伸线扇形MOM。的夾角1 甲虫数学家 拿一个紙的圓片（圈83），把它从边上向圓心割朋（例如 按丑O华徑割)，把晟形HOK港成像圆上所示的筒形。这筒 的形状很整齐：因为它是一个圓錐面，这圓錐面所有的母镬都 调83。紙片的裁播 圆84.不好的筒 ==========第83页========== 80 攝 钱 有相同的長度，因为它們都是同一个圓的华徑。知果我們按照阈84那样劃開，那末得到的简就不整齐：因为圆錐面各母钱的最度彼此並不相等。 現在再至一張紙片，它的边緣不是成圓形，而是一条任意不滑的曲穫，此知像周85画的那样。如果在紙片内部任意取 一點O,沿OH割開並捲成一个筒，得到的就不会是一个很好 的衔，因为錐面各母镬的長度彼此不相等。無論我們怎 样选點O,我都不能够 得到一个比較好的简，因为除了圓以外，对於任何曲慈都不能够找出到曲棧上每一點距离相等的一點。 这怎麽办呢？可得用另 园85.怎样剪茱呢？ 外的方法啦！在紙片的边綠 上取一點H(圖85)，並截取一小段孤丑K。把它当作是一小 段圆弧來求它的圓心.这就得在點丑和點K引法钱。雨条 法簦的交點T,就是所求的圓心。再來看弧KM,除朋一个很 小的譔差，也可以把它看做圓胍，但是它的圓心不和T重合； 在點K和點MI边緣的法筏，求出它們的交點T1,这是一个 不跟點T重合的點。糍繽这样作下去，我們得到點T2,-一般 說來，得到-一联心，圍繞着这些圓心求捲紙片，得到的是整齐的紙筒。 见在再走最後的一步：把由各个圓心联成的折棧TTT, ==========第84页========== 惭屈钱和渐伸楼 81 …作成一条連锁綫，使得到的紙筒是完全本滑沒有鋸齒的.很明顆，要達到这个目的，只要把联秸“相鄰近 法镬的交點的折綫T'T1T2 …换作不滑的山袋一就是这些法棧的包貉，像圖86 的曲綫TP. 但是我例知道，法筏的 86。怎样避免鋸幽？ 包格是曲緩的渐届淺。因此，为了要把紙捲成形状最端正的 尖筒，必須首先把紙片沿法筏機段HT剪開，然而再沿着边 橡的渐屈機TP剪開。 無論是你們讀者們，無論是我，無論是推，都未必需要去把一張紙片捲成一个筒（除了捲香煙，这時候也根本用不着考慮使每一条綫都有相同的長度！)。因此，就实用價值來說，我們現在討論的問題是毫不足道的。但是得让意一件有趣的事：有一种甲虫，更正碓些說，有好機种甲虫，它們把葉子捲成筒來給它們的後代們当弑。这些筒应当是坚固整齐的。它們应骸不至於被顾雨弄环，不至於因为形状美猊和尺寸较大而引起敌人注意、我們的捲葉甲虫（魔於象虫一類的甲虫）却能多巧妙地解決这些複雜的數学問題。它能多沿着葉子边綠的渐届護把葉子咬，然後再捲起來。圖87上画的是白樺樹華利1葉子的割口（更正雅些說是咬1）。在圖88上画的是葡萄棄和棄上的尖筒。 ==========第85页========== 82 搛 钱 圆87.白樺樹葉 圆88.葡萄英和葉上的尖简 当然，甲虫機何学家解决这个極不簡單的間題完全是無意識的。經过長時期的自然淘汰之後，生存下來的主要是那些稿造得特别整齐的甲虫。精果就產生了一种本能，一代一代地遺傳下去、这种本能迫使昆虫們不知道幾何而解决複雜的機何間题。注意，还有一种大家更熟悉的昆虫一蜜蜂，也能够解决一个並不更簡單的問題（当然也是無意藏的）：造蜂房時，規定了巢室的數目和容積，怎样才能使巢室佔面積最小。·这样，用的建築材料（蜂蠟）就最經济。 擺钱的渐仲楼。擺棧的弧長 前面举的幾个例子，帮助了我們熟悉渐屈棧利漸伸綫这雨个新的概念.現在我們已經有充分的準备來研究襬钱的 ==========第86页========== 撕屈棧和撕伸棧 83 伸钱了。 当我們研究各种曲袭時，常常要作辅助曲楼一已知曲綫的“件隨曲棧’。比知我們宜經作过直綫和圓的蚌袭，圓的渐伸筏、正弦曲钱一擺筏的件随曲綫。現在，从一条已知的擺蔑出發，作一条和它密切相關的補助曲護，也是一条擺镬。把这样一对擺棧同時拿來研究，在某些方面比把它們分别研究來得簡單。这样的補助襬綫叫作共軛撰綫。 武看擺筏的牛个拱弧AMB(圖89)。我們不要因为这个 擺镬位霞的放法和平常不同耐感到迷惑这个放法是“头向下 脚向上”的)。引四条直綫和準袭AK$行，並且和直諓AK 的距离分别等於心，2a,31,和4a。作相应於點M的母圓（在 阔89上，这个的側心用O表示).迥轉角MOH用伞來表 示.那末，綫段AH的長等於化P(角印用弧度計算) a妙 0- 一a红-的 89,共軛钱 ==========第87页========== 84 掘 钱 从T點把母圓的随徑'延長出去，直到和直筏PP 相交（交於E點）.作以TE为直徑的圓（圓心为O)。作擺 镬AMB在M點的切棧.我們知道，要作这条切嶘，只要作 點M和點的联棧就可以了（第2百）。把切棧MT从T 點延長，使辅助圓相交，交點用M1表示。我們現在要研究 的正是这种M1點. 我們已整用p來表示角A10H了.因此角1TH等於g (同一个弧所对的阅周角)。期然，三角形TO1M1是等腰三角 形。因此，不僅角O1TM1等於号，而且角TMO1也等於号. 於是，三角形O1M1的角TO1M1就等於T一p弧度（記住 180°等於π弧度)。又可以看出，棧段HK的長期然等於G (T-p). 現在看個89上用虚袭画的、圆心在O的圆。从圖上可 以清楚地看出來，如果这个圓無滑動地在直綫CB上浓動時， B點画出的就是擺筏BB。当虛綫圓轉了T一p角時，厨心 O2就到递O1點，徑O2B就佔据了O1M1位置。这样，我們 作出的點M1就成为擺棧BB'上的. 在上面的作阏襄，对於擺綫AMB上的任意一點M对应 了擺接BM1B上的-一點M1。在圆90上，这个对应表現得就 更清楚。照这种方法得到的擺綫就作共軛擺綫。在圖89 和圆9U上，用粗虚钱画出的擺袭，是用粗实筏画出的襬棧的 共軛擺綫。 从阁89可以看出，直綫MM1是共軛擺袭在點（的法 綫。事实上，这条直袭通过擺袭上的點H1以及母圓和準綫的 ==========第88页========== 渐屈機和渐伸機 86 切點T(以前我們一直 說这是母圓的“最低”點；但現在它是“最高點，因为圈形倒过來了)。但是由作圖，这条直镬也同時是“基本襬 筏AMB的切筏.因此， 原來擺筏切於共軛擺綫的每一条法綫。它是共扼襬镬法棧的包辂，也 圖90。共痴擺钱間點的对应 就是說，是共軛擺綫的渐届。而“共軛？擺袋簡單地也就是原擺綫的渐伸棧！ 从这些看起來很須複而实質上很筋單的作圖，我傅証明了荷蘭学者惠更斯發現的著名定理：襬钱的渐屈镂仍是同样的摇綫，只不过移了一定的位篷。 如果不僅只对一个拱班作渐屈棧，而对所有各拱弧都作渐屈綫（当然只是憑想像來作），然後再作渐届镬的渐屈筏，这 聞91.擺綫的一系列撕屈錢 ==========第89页========== 86 样糍锁下去就得到像圖91那样的瓦塊堆蠱圖形。 我們可以注意，在惠更斯定理的証明中，並沒有利用無翁小、不分割和近似值求法。我們湛至速力学也沒有利用，虽然有時候引用了力学的表示法。这个証明完全符合十七世紀学者們論証問题的精神，当時他們希望把靠各种提示性考崽得到的結果加以骰格証明. 从惠更斯定理，立刻就可以得到一个重要的推論。武看圆89上的畿段AB'.顯然这个護段的長等於4a。現在假設 貼緊擺棧弧AMB繞了一段絲錢，絲綫的一揣固定在A點，在 B點的另一端上繁一枝铅筆。如果我們把絲棧“伸展開”，那 末鉛锥將沿着擺棧AMB的撕伸筏而运動，也就是說，沿着擺 棧BM1B'而运動。絲棧的長度等於襬棧的牛个拱孤，顯然地 它的長度等於畿段AB'的萇度，也就是說等於4。因此，罷 機的一个拱弧的長等於8a,公式 1=8e 現在可以看作足够轂格地証明了 圈89給我們的还要多。它不僅豁出了擺棧每一个拱弧抓長的公式，並且給出了擺袭任意一设孤的孤長公式。事实 上，弧MB的長度頫然等於棧段MM1的長度，也就是說等於 擺袭的切棧在相应母圓内的一段的長的雨倍。 類似的論証和作圖，使我們可以作出外擺錢和内擺綫的渐届綫。我們只列举現成的桔果。外擺綫的渐屈袭和原來的外擺袭相似，它的定阗圓心和原來的-一样，然而定圓旋轉了一个角度等於：弧度（就是1度），这襄的是定國牛徑和勒 ==========第90页========== 渐屈镜和惭伸棧 87 質牛徑長度的比。原來外提韆和潮届钱的相似比等於十云· 换句話說，比如定圓牛徑三倍於動圃牛徑，漸屈棧的綫性量度 就是原來欐筏机应部分的袋任量度的32=号倍。在圈2 上画的是一个具有雨个歧點的外擺棧(%=2)，以及接速雨火 的新届钱。每一个都是翻於莆面一个旋转了190，每一 个都是前面·个的二分之一（籛性量度）。 外爆線 圆92.外擺楼的一采列薄屈筏 内提畿的渐屈幾相以於原來的内擺袭，它的定圓圓心和原來的-一样，也像外擺錢的情形，它的定圓相对於原來丙擺綫 的定围旋轉了一个牙弧度，但是和外擺袭不同的是内擺綫 ==========第91页========== 88 损 横 的渐届籛此它自己要放大了，相似比等於，”·圆8上画的是星形殘（饥4）和它的渐屈袭。渐届棧關於星形綫自己旋 糖了一个19-5~角，並且放大了雨倍（当然是指緩性量 度)。 渐屈緣 内握象 武93.内棍的新屈棧 最岸大的数学家和物理学家之一一牛顏食經究过内擺畿和外擺綫的渐届袭，他也獲得了上远各个桔果. 渐屈綫和撕伸綫的慨念对於畿何本身以及对於应用都是非常重要的。惠更斯就恰好为了物理間遐而得出他挪一条著名的定理。我們現在就來款这一个物理問題吧。 ==========第92页========== 第五章 最好的擺 …不要只是讓鐘饿指示時简，要使特简其正地推動链饿前進。 。雅可夫斯基 克里斯坦•惠更斯和他的瑷明 “光荣的惠更尼”-饿國科学的笑基人米哈伊尔華西里也雜奇·罗蒙諾索夫，臂食經这样称呼这位著名的荷蘭学者克里斯坦·惠更斯，不过他把拉丁語尾俄女化了， 惠更斯(1629-1695)是一位多方面的学者.他在數学、应用力学和光学方面，都同样地有研究。我們已經群过，在文藝復兴時代和十七世紀，这样的多方面性並不特别。 無論是托里拆利！卡瓦列里的“不尽分割法”或是笛卡兒和飛的机智的論証，惠更斯都同样地善於运用，並且所有用不十分有根据的方法得到的結果，他都給以一种古希服式的無疵可事的嚴格証明。他最要好的就是嚴格特催的証明、“桔論並不像正碓的推演以及清楚明白的証明那麽重要”。他 〔89) ==========第93页========== 80 凝 钱 官經这样說， 惠更斯享有發明擺鐘的荣譽、他研究了擺鐘的理論，並且第-一个製造出这利鐘來。到如今，擺鐘（掛鐘一一虽然是廉價的掛鐘)已經在日常生活中得到最廣泛的应用。但是擺鐘的意义此这还大得多：最準睢的、保証天文台作業用的篮就是擺篮。在惠更斯的“論擺缝“一書襄，包括了一系列輝煌的數学發現。 除了力学、物理学、天文学方面的發明以外，惠更斯还在敷兴方面得到了一系列新的结果。他证明了連分斑理論中最重要的一些定理：他和飛馬，巴斯噶同峙笑定了或然理論的基礎；計算出了旋轉椭圓面和旋轉抛物面的面積.他还得到 一系列照於闻的定理，这些定理可以用來計算π的数值递到在当特絕無僅有的精罹度。他也阡究了渐屈袭的理論，並且用來研究擺筏。他的这些研究和闕於擺鐘的工作有最密切的联系。 操维。为什麼普通摆（園周）不好？ “正直的伽利略是对的！”普希金在下定伽利略關於地球繞着太踢轉的說法的恃候，是这样窝的。然而我們要講的却是这位偉大的战士怎样在科学上犯过一次錯誤. 伽利略覌察教堂襄的掛灯的襬動，發現掛灯每作一次完全的擺動所需要的時闐，也就是說灯从某-一个位置出發再回到这个位霞中間所經过的時間（所謂擺動週期），是同擺幅的大小沒有閾係的。这种覌袋使伽利略想到，擺動的物体（擺） ==========第94页========== 最 好 的 搛 91 可以用來調節鐘饿的走動。 伽咖利略自己並沒有製成擺鐘，不久人們也明白了他的覌禁並不特雅。从更精確的观察知道，擺的擺幅越大，擺動遇期也就越長；但是由於軸之間不可避免的摩擦以及空气的阻力，普通擺的擺幅總是在逐渐縮小，这就是說它的擺動週期也在逐渐縮短。用普通的擺製成的鐘也就不可能走得很準。普通的擺也则做周罐，因为它上面每一點都画出一个圓孤。 惠更斯想出了用什麼方法才可以使圓周擺的擺幅保持一定大小（用物理学的話來講就是振幅一定）。但是他还解决了另一个有趣的間题一一个點在什麽样的曲袭上运動它的振勁週期方才可以和振輻無開（也就是說，每一火振動所花的特間和振動的大小沒有開係)。他想到了一种設計，使擺的重心在这样一条曲綫上运動。藏者一定猜中这条曲綫就是擺畿：不然的話我們何必在这襄來談它呢？ 先來講用什麼方法可以保証用圓周擺的鐘可以走得很準。钩輪1（圈94） 被掛在軸上.的擺錘B牽 勁。軸的一端緊粱地衔接着另一个小齒輪（圖上沒 94.凝鐘的搆进 ==========第95页========== 92 擺 梗 有画出來)。小齒輪帶動指针，因此A必得要按均匀的速度 运動才行. 但是擺缍B正像一般物体一样，在重力作用下作加速运 勁，这个加速度也就傳腿谿了齒輸A。为了消除这种麻煩，就 得用MM擺. 和齒輪A在同一不面上的擒樅器O和擺MM速接，擺 1M本身在这个平面的後面，所以用虚護表示.擒縱器上有 H和K雨个齒。 周94上画的是齒輪A被擒樅器的左齒丑和住的一刹 那。当襬向左擺時，擒縱器的左齒就放開了齒輪，於是齒輪開 始轉動，但是只轉过牛个齒，因为这時候擒樅器的右曲K又 落到了輪盥上，把齒輪扣住了。当擺再度向右擺特，这方面的输齒又被擒縱器的齒擋住了.所以擺每擺動一次（來回一火)，齒輪就匀速地錯过一个齒去，也就是轉了圓周的若干分之一。齒輪的运動將是嚴格的匀速运動. 擒縱器的楹形状就像圖94上的邢样，是斜而尖的，被擒縱器扣住又放開的輪齒，就一定会順着挨樅器的齒的斜面移動。因此擒樅器就把不大的推動力博遂耠擺、这种遇期性的推動力就補充了鐘擺克服摩擦力和空气阻力所滑耗的能。所以擺幅（振幅）就不致於变小。这样看來，錘的作用就是向擺1齒輪博遞能量，同特也就調整了鐘的行走。 如果鐘停了呢？要它再走也不难：只要把锤升高並且使擺擺動就行了。但是这样一來，襬幅就不一样了，鐘走的速度虽然均勻，不过是不準確了（或快或慢）。惠更斯想出了一个 ==========第96页========== 最 好 的 擺 93 調饰鐘鈸的很容易的办法。但是認眞的学者惠更斯却又關心到这样的問题：什麼样的擺是“完善的”擺一擺動的週期和擺幅沒有删係的擺？瑚於惠更斯怎样解決了这个問題以及擺簇在这裹起了什麽作用，这正是我鸭現在就更說的。 惠更斯的“陶塔赫隆娜”曲棧 藏者不要被这个奇怪的希微字嚇住.“陶塔赫隆娜'的意思只不过是“等時”罢了.惠更斯想找到一种曲棧，使得当擺的重心在这种曲棧上运動時，擺動遇期和擺幅大小沒有關係；惠更斯就把这种曲綫叫做“陶塔赫隆娜”。桔果他得到了成功：在開始研究襬綫以前不八，陶塔赫隆娜的秘密被發現了。在这裹惠更斯表現了草越的才智。只要举出下面这一黜來就足以說明了：關於渐屈袭的理論就是在解決这个問題的过程裹創立的。 惠更斯是照下面的方法思考的©。把-·个槽勒作成擺棧 的形状，像圆95画的那样。使一个重的小球M在这个槽勒 襄滑動。我們考慮理想的情形·一·假設沒有摩擦，沒有容气阻力。 我們用Mo和M。'來表示撬護的歧黏，用%來表示母圆的牛徑.作一个牛徑a,的圍（圃心是O)切擺袭於頂點，义作相 当於擺隧上點I的母圓（用虛綫画的圆）。假設小球已經放 ⊙我門这裹对於惑更斯的思考的微述，比他原來的更商單些，並且是用近代的输語來表產的、这样，我的藷法就比較容易使大家接受，但是在表現的生助性方面却很存損失、一这趙谨是一种“不太逼厦的臨墓” ==========第97页========== 94 擺 筏 2UC25a￥ 遗95.“擺钱擺”的理論 在槽顿上的江1點，不加推動使它按重力的作用滑落下來。現在我鬥來研究-一下它的运動. 小球到莲擺能【的M黜時，它的速度是什嬷呢？这个不 难求出.从點M1洛到I,小球的位能减少了一些。这位 能的損尖等於小球的重量g(m是小球的質量，g是重力加 速度)和降落高度的乘積一降落高度是指小球在位置M1 的高疫和在位懂M的高度雨者的差，而高度是相对於某个 固定的水平面來計算的，例如，以地平面为标準來計算高度。但是不管用什嬷水平面作标準來計算高度，在我們这个情形 所講的高度差總是等於錢段H。因此，小球位能的掼耗等 於mg,HM. 但是按照能量守恆定律，小球損失的位能轉变成了它运 動的動能，大家知道，動能筝於，这宴)表示小球的还待 求出的速度。这个動能等於閴失的位能，就得到方程式 n22=g·HM, 从这个方程式立刻就可以求得要求出的速度 v-=v2g HAI. ==========第98页========== 城好的 擺 95 这个速度的方向也不难定出。它正是提袋的切棧方向，也就是弦1（的95的方，这惩1是丹的收低蜡、 我們对於速度)本身还不像对於化任经直袋北的射影那样有兴趣，也就是說，对於“小球的滑洛速度还不像对於小球高度变化的速度那样有兴趣。这个在蟹直钱上的射影很容易計算出來：它等於C0sa,这襄a是弦ML:蟹直方向所成 的角.圓心是O的圓的弦A里顯然本行於並且長度等於弦 ML,因而角T11等於角KA',这在腻95上已經标明出來 了.因此： v直方向=MP=wC0Sa=√2g·HMC0sa. 我們將要把到凭在为还不熟悉的在筏上的非匀速运動同在中学襄行細学过的在惻周上的匀速运励來作比較。为了这个日的，我秽作-一个辅坳围。惠更斯的作方法是这样： 通过擺棧的頂點A引底的垂綫AD(園心是O的圃的直徑)， 通过小球运動的起黠M1引底的不行袋I1B。把所引的平行 筏和垂綫的交點用B來表示.用1B作直径作一圓，就是要 求的補助圆。到現在，我們还不清楚这个圓此共他的圓好在仕麽地方。这一點，在逐步闡明惠更斯的思考進程中就会逐步明雅起來。 開始先这样：把小球豎直方向的运動速度：辅助圓上的要素联系起來。我們有： MP=√2g·HM cos a=√2g·BKc0sa,(*) 因此，HM=BK.由三角形KT'得到： cos a=A4 1● ==========第99页========== 88 擺 袋 但是AI'=2ac0Sa,因此c0Su K. g cos u 或格c0sa= K4,从这襄就得到2a cosa=vAh y 2a 把求得的餘弦值代人表示MP的式子(*)中去.得到： Mrv2g-co时u-y2g6R·√g=g,BK.AK. 最後一个根式等於楼段BK的比例中項，也就是 等於三角形ABC的高CK把AB分成的雨个諓段的比例中 項。但是根据熟悉的糊於直再三角形中比例棧设的定理，这 个此例中項正好等於高CK: BK·1K=OK2 所以，最後得到的小球在擺棧上运動的娶直速度MP,可 以用下面的公式表示： MP=9.KC. 敷量&19都是一上來就稀定了的，和點M以及它的最 初位崮M1都沒有湖係.这样，小球在擺錢上的运動完全可 以由補助劁上的弦KC來決定，也就是說，最後是决定於C 點在補助圓上的位膛. 考揎C點在補助圆上的勻速运動，角速度是；秒，/) 弧度，也是每勒婴工度.贴在脚周运到的逃度 等於圓徑乘上以弧度表示的角速度（每秒），也就是等於 ==========第100页========== 最 好 的 䎱 97 这个速度在蟹直方向的量等於什嬷呢？换句話說，用上 面这样的速度在圓周上作匀速运動的點C,它和直綫M。M。' 間距离变動的速度应該是什麼呢？这个速度並不难算。在圓周上运動的點，它的速度必然沿着圓周的切淺方向，也就是垂直於徑的方向。速度w在整直方向的射影等於w自己乘上角B的餘弦（阁95）。但是角B顯然等於角 KCO1:因为这雨个角都是角O1C的餘角、角KCO1的餘 弦等於KC:号AB。我們得到：在阅周上作匀速运動的點，它 的速度在豎直方向的量是 KC-MP, AB 於是得出一个非带好的粘果：当點在圓周上作匀速运動時，它在豎直餞上的射影和在擺袭上滑動的點在豎直綫上的射影相同。在任何時間，这雨个的速度在蟹直袭上的射影都是相同 的。从这襄就可以推出，點在圓周上从B到A,和小球在擺钱 上从M1到A所花的時間相同。这一段特間的值很容易求出 來。我們已設过，點在捕助圆上每秒轉、日孤度，换句話設，就是轉一个弧度需要花時間√：秒，模π弧度（华个圆 周)需要的時固是T√号秒.我侧的小球在粗緩上从衢M: 滑到斯A需要的時間也正是这縻多，也就是等於T√号秒. 同样小球按照运動慣性升到11'需要的時間也是这麽多；同 ==========第101页========== 98 批 能 洋，再由江1滑到A凿以及由A點回升到原來的發點（點 M1)需要的特调也各等於/4秒。这就是說，小球完成 一火擺勋需要的時間（襬動週期）等於4πg t=4π、g· 这是一个非常有名的公式。从这襄就可以道，小球在擺棧形槽軌上运動的週期完全决定於槽軌的尺寸（擺棧母圓的牛徑)和重力加速度。能上11點的位道置以及这點到值筏MaM。'的离的大小根本不起什嬷作用。熙論小球从擺袋上的邪一點始运動，擺動週期魏歸是同样的、 所以扌把擺袭做“等時棧”陶塔赫隆娜曲綫。斯特忘掉所談的擺，並請看周96。圖画的是一座冰川山，不过並不是普通的冰！，它的凹而变成擺棧的形狀.在不同 的高度(K,H,P衢)，各有一趣备出發的雪。一發号令他 图96，“等特曲横形冰山 ==========第102页========== 轻好的 99 們就同特出發。哪一个最先蓬到目的地呢？不要急於答， 不要忙着输运到”K戴上月桂冠口。好好記什現在談 的是在擺棧1的运動。挪题你就明自，三个人将同時到遂A 點：当然不町避免地要發生的碰播。 擺橇擺 惠更斯想，怎麽样利用罷綫的李诗性來装置“完善的”擺呢？普通襬的作法很简單：更要一个当的小球繁到淺上掛地來（圖97）。於是罷的重心就在圓周运動.綫有時候可以换成一条固的細轴。但是怎羊才能修不用博批或以的具有很大摩擦力的装肾而使得罷小球的运動輓跡是等時曲綫跳？怎样能使韃上轻的小球在毵上运動呢？思索这个問題，惠更斯想到了渐淺撕伸筏的概念. 作一对凸形板（比如說，可以用木板來哭)，每一塊都割成擺棧的华个共胍的形 97.倒周擺 状，在它們共同的歧點O相接（周98）。像不常一样，用表 示擺錢母同的牛徑。凸形校整直地固定起來，在岐點O处掛 錢，袭段等於4%就是說雨倍於襬棧丹的直径。在楼的自山端繁上有重骨的小球。 我已灘过薄屈錢利渐伸畿了，因現在就很清楚，小 曰月桂冠是希躐罗，！芋人、蒌家等荣壁的型牧。-酈者注 ==========第103页========== 100 擺 棧 圖98.擺棧擺 球在运動時面出的轨跡將是擺棧ACOEB的渐伸護，因为当 小球运動時，細綫將贴繁着凸形板的弧（武此較圖98和第83直上的圆89)，但是我們知道，擺筏的渐伸棧是和1它自己同样 的一条擺棧。这就是說，小球运動的轨跡曲棧BMTPA是一 条擺钱，它的母圓牛徑是a. 如果把小球放在任意一點：M上，然後放手讓它自由运 動，它將開始擺動，而这个擺動的遇期是和M點的选撰沒有 關係的。卸或由於摩擦力或空气阻力的影响，擺輻縮小了，擺動週期也仍簪不变。襬就其正地成等時擺了！讀者想一下，怎麽样用这种擺來調衡鏡餓的走動. 現在还請看一·下擺在擺袋撅AB上作很小擺動時的情形 (圖99)。如果这种擺動很小，凸形板的控制彪响实际上就不 大会受到，这時候，擺袭擺機乎和長【-4、吊在O點的普通 ==========第104页========== 最好的 101 擺沒有什麽區别。挹系能擺的軌跡AB实际上和長是4a 的周擺的軌跡CE沒有蓝 别。这就是說，良=：4z的普通圆周擺，当在很小的擺動時，它擺動的週期实际上和擺钱擺的搬動逃沒打城别.任我們前面已經介紹过的公式： t -4m 寒，把换成它科等的數 圈99.周擺的很小的擺助 量年，就得到当很小的擺動時個周擺擺動遇蝴用擺的長度來 表示的公式： t=2√ 这个物理公式是每-一个￥生都道的。 ==========第105页========== 第六章 奇妙的山 沉裹道高高地婆立记一座冰山！ 洛子茶大 關於最速降耧間題 在圖96襄（第98订）画了一座奇妙的冰：运動佳从不同的高度出發，可是同厅到達山脚下.但是除此以外，这座冰山在其他方面还可能更奇怪，至少數学家物理学家們会这样想。对於这种山的研究臂在科学史上起过重要作用，所以我俐要講一講. 很坦白地說：我在幼年恃代头寒从來也沒有想过这样 的問题--为了用最短的蔚間从M。滑到1，冰山：的形狀应該 是，样的（倒96）？作然，最短的路程是直錢1A。因此也 就应骸照直淺滑吧！可能游者門也会感沱这个問题太题然了，沒有什嬷趣味吧？但是事实上却延不是这样.在这襄我們碰到了·一个在數半史上非同等删的間超，以要此較群細地蒂一下。 〔102) ==========第106页========== 奇妙的冰 103 蒂乔三角；：10（圖100）。心的斜边AB是冰面，長 度等於20公尺，高10、1？公尺.計算一下零腰从冰的頂 點B滑到脚.1所需的好間。这寒也像平常邢祥，不計算摩 擦力。 經过細心观袋，利酪得下列的定律：如果物体在斜面上运動時所受的外力只打重力，末运重到路程的長度和特間的比，等於下降的高度自1落休降落骸高度所需時間的比。这种；逃方式可以换成一个内容完全一祥的被逃方式：在重力作用下，斜面上物体神動勳…段路程所；的時間，等於白由落体降张司高度所 9 福的寺周除骸舒面和水平面夾再的正弦。菠者不难証明这雨种敍逃的内容是完金-一致的：只滑在100上看一看就明白了。 圈100。怎样滑得更快？ 伽利略是根据經驗得出这条定律來的.但是利用力的分解法則，从自由搭体定律很容易椎演阳这条定律來⊙ 因此，我們可以从計算自由落体从B野落到￠鼢所需的 時間始。我道，自由落体的运動路程B,可以用重力 加速度(g：9.81公尺/秒2)府特開飞來表示： BC ©在中学切理课本襄就改推润， ==========第107页========== 104 拥 钱 从这襄就得出時間 12花=26=0.82×4.901.57， 这是因为 11 マプ。81=0.32,而2/6=4.90. 現在不难求出物体在斜面上滑下來所需要的特閻T:要 得到这个，只要已求得的時開(1,57)除。的正弦（号 ),或者乘也一样。 我得到： T1.57总-2.61. 因此，雪橇从山上滑下來儒要2,61秒. 其次再看，設使滹橇从3滑到A並不是沿着BA山坡滑、 而是沿着一条北較複難的路經來滑的情泥。它首先沿着一 个班陡些的山BE滑下來，然後在EA一段路程上用滑到山 底特的終速度作慣性运動（这很容易算出）。在这条路徑中， 从B點到點所需的特間等於从12公尺高度自由落下所需 的時聞除B角的正弦（乘），也就是等於1,57×圣=1.96 秒。这个特間还应該加上按慣性：而运動（在棧段召A=7公尺） 所需的時間。雪撬到蓬珍點特具有的速度可以从損失的位 能(ng)等於楼得的動能（母）的公式算出來， 九gh=m)、 这个方程式消去了m,得到： ==========第108页========== 奇妙的冰山 106 73 =gh, 因此 )三√2gh=√g·/24公尺/秒. 要算出臂橇按慣性运動以後从E點到A點所需的時間，只須 路程(7公尺)除速度(V√g·√24)就行了；因为按慣性的运動是匀速运動： ,=7マーン=02××ゾ =0.46 把沿山坡BE滑落所花的時間(1.96秒)和按慣性而运動所 花的時間(0.46秒)加起來，就得到沿路袭BEA运動翘共花 去的特閱。它等於1.9640.46=2.42秒，也就是說，比沿山 坡BA滑落所需的時間少。虽然直筏AB是A點和B點間最 短的路程，但是却不是“最饰省時間的”路钱：从節省時間的 覌點來看，路袭BEA來得“比較短些”。这也很明顯地表示 出：由於山坡坡度增大而在速度方面得到的好处，足够抵補由於路程堆長而受到的损失还有餘。 根据这样的推論就会使人們想到，从時間經济的覌黏來 看也許最適当的路棧是BCA:先使雪橇沿直立的山壁BC落 下，再沿着一个小圓坡（在阁100上用虛綫画出）很可能平滑 的改变它的运動方向，然後沿着直護CA保持着較大的速度 按慣性而运助. 我們不必多猜，最好还是实际來算一算！沿B0自由下 落所需的時間我們已紅算过了；这就是我們的t,等於1.57 ==========第109页========== 106 擺 棧 秒.在C點的速度可以从比較損失的位能和獲得的動能算 出：它等於√g·√24，我們也已經算出了.路程(16公尺)除速度，得到時間tc4: 4=16÷(V9√24)=0.32×者×2.45=1.04秒. 把这个時間和自由下落所需的時間(1.57秒)加起來，就得到 沿路棧BOA而运動總共所需的時間： tc4=1.57+1.04=2.61秒. 这一条路護並不錾济：走这条路綫需要花的脖間也和走直棧 BA一样多，也就是說，顯然比走路棧BEA需要花的時間來 得長些。在我們考慮的三条路綫襄面，要算路綫BEA最節 有時聞（虽然並不是最短）. 但是，E點（阁100）是“最適当的”點嗎？它能够保証最 節省恃閻嗎？是不是可以找到某一點M(阁101)，使沿着圈 上用虚畿（一一一一）画的路綫BMA而运動花的時間还要少 些？又是不是可能，路袭的轉折點不在直綫0A上而在三角 形ABC内，像阔上用虚綫（一··一）画的路袋BDA邢样， 将是最衡省時閥的路錢呢？最後或者，是不是圖上用虛點(…)面的曲棧正是我鬥問題的解答？怎样去找出这 20 种曲棧？ 總之一句話，產生了“下 面-一个問题：設1，B是距地 面不同高度的雨點，通过这 國101.怎样选擇路棧？ ==========第110页========== 夺妙的冰山 107 兩點求作曲棧，使物体在重力作用下从B至1治这条曲綫运 動花的時間最少。所求的曲棧叫做“最速眸能。！果B點 和A點在同一条毫直棧上，哪末最速降綫顯然是一个直棧 段。但是如果B點和A點不在同一条豎直錢上，如果它們的 位脚係恰好像上面問是題裹的三形所示，那睡恃形又將怎样呢？在这种情形，問题就不很明顯了，因此，我們要仔細研究一下最速降棧。 到現在为止我們提到过的学者有你利略、巴斯噶、罗别尔瓦里、托里拆利等人，这些人的研究結果替华！莱行尼艺微積分兴的建立做子了準备。著名的伯努利兄弟：猴可布(1654 -1705)和豹翰(16671748)是另一代的学者，他們首先舒定了牛颠利菜布尼兹的新方法，指出新方法是有力的、美妙的，对它大力地進行了研究，並把它的位用範禪黯大。他們也是最先彀吹數学中新思想的人，是微積分学的第一批宣傅者。“積分”这一个名詞就是雅可布：伯努利引人的 1696年瀚：们努利提出了最速降畿的問.下面我們來說一下这个問题究竟难在哪襄，为什嬷說它积有意思。当時钓翰伯努利發表了这个沒有作出解答的間趣，請最优秀的敷学家們來究它。有四位学者解决了这个得题一一萊布尼兹，牛頓，德-罗比塔尔雅可·伯努利.雅可布~伯努利的解答最打意思，臂經在數学史上起过卓越的作。 为了分析最速降袭的問题，我明必須向另外-一方面看看：必須靠光学的一些帮助. ==========第111页========== 108 振 棱 光学的巡礼。狡吉的光钱 我來回憾一下最速降棧問题是怎样說的、設A,B是 处在不同高度的雨个定黏，在所有的关粘A,B的曲綫中选出 那栏一条來，使任意一點©在重力作用下沿着它从高黏到低點所花的脖間最短. 这个問题很难。先考道下面一个比較容易 的間题：假設要从A船 (阍102)派遣一位通部 且到B城去。小艇的 速度是)公里/小特，通部具步行的速度是) 圈102。飛馬間题 公里/小特。設距离a,b,m已經知道。在KH岸.上求出一點 M,使通戬員在M點登睦、走完路程AMB所花的時間最短。 期然这个問題和最速降筏問題很接近。但是最速降淺問题要複雜得多：在最速降錢调题襄需要求出的不是一些黜，而是整个一条术知曲镂。在新的問题（我們即它飛馬問題）寒，需要求出的却只有→黑點。且在飛馬問题塞，我們碰到的只有丽个速度(w和u)的值；在最速降綫問题襄，點的速度受重力的彩响而蓮锁地变動，具有無第多个不同的值. 我侧也並不.刻着手解决瑽馬間題。首先來希一个大約 这袅說的不是純粹幾何意义的點，而是質點一一有重量的點。 ==========第112页========== 奋妙的冰山 109 在雨千年以前，亞歷山大的学者赫倫（公元前一世紀）所从事的调遐. 假散你一鑫同件脚在旅行。一部分人装营在1处（圖103),另一部分人紫营在 B处。假定你在B处，水 加却在A处。你走到A 处，拿了水桶然後走向河 岸丑K,取了水，回到你的 营地B处。你应当在河岸 上的哪一點M取水，方才 能彤在最短的時閻丙从A 圆103。怎样最水花的特間最少？ 处到B处？假設你拿着空相走路和装水以後走路速度一样， 那末物理問題就变成了-一个純粹的幾何間題：求由A到B的 最短路護（中途須折到值畿HK)。 这个問題可以很簡單地解出。作慨於直箋丑K黏B 对称的點B1(换句話說，就是引BC⊥HK,並沿長BC,截取 CB1=CB).。取直綫丑K上的任意一點T.很清楚，不管怎 样选擇T點，折綫ATB和4TB:都一样長。最短的一条 A里B1式折畿相应的一条ATB式折楼一定也最短.对ATB1 式折楼來說，問题很明類：用直諓段联秸A點！B1點，“折袭' MB1(也就是直淺)就是A和B1間的最短距离。这時候最 短的AB式折護(A點和B點在直綫HK的同-一边)是折綫 AMB,而所求的點正是M點（联結B點的“像”利1A點的綫 段跟直钱丑K的交點)、 ==========第113页========== 110 拥 棧 非花，在这种情记刊B1C有CMB,州等（为什夔？）。 知果通过點H引直筏P1丑K,那末角MB就等於角 EMA. 現在我們不去考虑職於河岸野营的人的事，而來考意 一个鏡面HK、光源A以及观察者的眼睛B(完全同圆103 一样)。这時候我调超的舍案变成了一件大家熟悉的物理事实：光綫的投射角等於反射角。这也可以照下面的方式來皱逃：光綫反射時“选祥”最短的路程。这个秸果最初是亞歷山大的赫倫得到的，所以後边这一形式的反射定鞋後來就叫做赫偷定律. 在赫倫以後·千五百年，發明了顯微镜1望远镜.为了要改進这些酸器，入們努力究了光的袋何学，自然然注意的心龙不是反 国04.斯浪图斯定律 射間趣而是r射間（在透鏡方面）了。顯然这特侯就不能講光战的最知路程是A)B(圖104)、但是在圆104_上画的a角 和B角之間的關係怎样呢？·…關於这一點，我們只能猜一 下。荷蘭的学若撕是留斯(1581-1626)用实驗的方法發現了 -一条定律，現在这条定律已經是每个中学生都道的了：如果 光能从介質A射入介質B,那末投射角的正弦和折射角的正 弦的比是一个常敷（等於介黄B的折射1介質A的折射茶 的此)。文葵復兴後期的单者們就已經知道在不同介質中光 ==========第114页========== 奇妙的冰山 111 速的递異是由於不同的折射率而引起的。在圖104上，酸用來表示光餞在上边一部分介霞襄的速度，用0來表示在下边一部分介質塞的速度，斯留斯定律就可以像下面这样皱逃：光綫投射角的正弦和折射角的正弦与相应的光速成正此例，禽成式子就是： sin asin B 光綫从A點經过O點到達B點，所走的並不是最短的路 程。但是可能不可能这样走最快呢？法國学者皮埃尔·飛馬(1601-1665)首先注意到，在關於光虥反射的赫倫定律裹說的並不是路程最短而是特間最短（光箋的投射速度和反射速度是一样的！)。飛馬想到，光袭折射脖是不是也会“选擇”最節省诗間的路程呢？这就使光袋的反射和折射能够包括在一条統一的定律襄面，这条定律是用新的、更丰當的覌念作基礎的！ 飛馬提出了这样的一个間題：設在圆104上，光筱在直钱MP上部的速度是v,在MP下部的是w;光筏应該怎样运 動，才花最少的特間从A點走到B點？ 現在再看周102，把飛馬關於光袭的間題和關於輪船派遣通部員的問趣比較一下。立刻可以看出，就數学的覌點來看，这雨个間题是同一个問题.正因为这个绿故，我隅才把輪船派造通訊貫的問题即做飛馬問題，虽然这位学者从來沒有考度过这个關於輪船的問题。我們現在撒開光袭和輪船來講 一个抽象的力学問題：設有·个运動的冀點从A點芽过直綫 MP面到蓬B點（圖104）。它在MP上部的速度等於v,在 ==========第115页========== 112 直袭MP下部的等於.問質點穿过直棧MP的哪一點O, 得到的由雨个直袋段成的路程扌是最節省時間的路程？ 困难在哪襄呢？看这样一个問题：已知一等腰梯形的底、周界和底角，求它的面積。这是一个普通的問题，不太簡單，也不很难，高中学生都可以解得出來。但是如果把間题改变一下，考虑下面的情形：已知等腰梯形的底1周界，应骸怎样选擇底角使所得梯形的面積是最大？这个新問題，一千个中学生襄也难找得出一个能解决的了。 这一類問題（就是茅求使某一數量取極大值或極小值的 条件)的实用價值，是很明顯的。在技術中經常需要解决盟於鍋爐最經浒的尺寸的問题，關於机冀最有效的形状的間题等等。古代科学差不多沒有处理过这一類問题。但是女藝復 圆105.斯淳留斯 定律的結論 兴時代的学者却面对着迫切需要完成的任务：研究 出箭單的方法來解决这一類間題·)所謂趣大桎小間题。 不知道斯煌留斯定律而要獬决光綫折射的問題是很困难的。但是知果先允許由經驗發現的斯湟留斯定律來暗示一个解答，就不难証明这个事先的頇调是正確的. 我們現在就要來作这一件事. 設質點（或光綫）从A點（圖105）沿直袭运動到蓬直袭 ==========第116页========== 苻妙的冰山 113 ]K,再从HK到B點；从A點到直能L的达動速度是w, 从直畿HK到B的运動速度是。質點（或光棧）应該在 哪一黑點C综过綫丑K,扌能在最短時間g山A到蔻B 點？我們來証明，最節省時間的路程是角PCA的正弦和角 BCM的正弦的比等於速度)和的此的一条路程. 設1CB正是这样一条路，就是說它適合条件（圖105） sin asi115 在HK上取任意一點F、我們來証明，按路程AFB走此按 路程ACB走花的特間要多些. 作一些補助綫，使以後的若慮好比較容易些。从F點引 投射光筏的垂直系錢，又引折射光钱的垂直綫（这个用光学徘語來微迦的解法也適用於解質點运動的那个問题).换句話說，就是川FDLCAFE⊥BT.角IDFC等於角PCA(角u),因 为它捫的边雨雨垂直.同理，角CPE等於角BM(角B)。 因此 sina CH sinB=o Cx。 把这雨个關係相除，倒换位置，並回憶（根据斯湟留斯定律）ina:sinB=w:w,我們得到 sI1asin B 或 ('I) 这就是我們需要得到的初步結果.現在再把按路程ACB走 和按路程AFB走所需的時閱作一个比較. 按路程ACB走： ==========第117页========== 114 擺 楼 22 而按路程AFB走： 古1=F+F形 (在面淺段上决定勻速运動所蒂的時剧，只要路程除速度就行了.) 必須証明 t